696. Un sistemita no lineal... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas escribió este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Enseguida encontramos una solución con la cuenta de la vieja:  x = 1 ,  y = 4 .

1 + √4 = 1 + 2 = 3

√1 + 4 = 1 + 4 = 5

    Pero Pepe comentó que no era la única solución real... ¿Quién quiere buscar más?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo los cambios de variable  x = a² ,  y = b² ... para quitar las raíces:

a² + b  =  3

a + b²  =  5

    Mire, profe. Por el método de sustitución, como  b  =  3 – a² , entonces

a + (3 – a²)²  =  5

a + 9 – 6a² + a⁴  =  5

 a⁴ – 6a² + a + 4  =  0

    La regla de Ruffini nos tiene que proporcionar al menos "la solución de la vieja":

     Ahora solo hay que resolver  a³ + a² – 5a – 4 = 0 ... 

    Con el cambio de variable  a = z – 1/3 ... desaparece el término de 2º grado:

(z – 1/3)³ + (z – 1/3)² – 5(z – 1/3) – 4  =  0

z³ – z² + z/3 – 1/27 + z² – 2z/3 + 1/9 – 5z + 5/3 – 4  =  0

z³ – 16z/3 – 61/27  =  0

    Y, ahora, llega el enigmático cambio  z = u+v ...

 (u+v)³ – 16(u+v)/3 – 61/27  =  0

u³ + v³ + 3uv(u+v) –16(u+v)/3 – 61/27  =  0

    Para que este polinomio se anule basta que

u³ + v³ = 61/27

u·v = 16/9

    Es decir,  u³  y  v³  serían las soluciones de la ecuación

w² – (61/27)w + (16/9)³  =  0

w² – 2.25925925926 w + 5.61865569273  =  0

cuyo discriminante  –17.37037037037... es negativo... Eso quiere decir que  u³  y  v³  tienen que ser números complejos imaginarios conjugados y por tanto  u  y  v  también, de ese modo  z  será real... Veamos:

w  =  1.12962962963 ± 2.08388881484 i

mod(w)  =  √ (1.12962962963² + 2.08388881484²)  =  2.37037037037

arg(w)  =  arctg (± 2.08388881484/1.12962962963)  =  ±61.53886691356º

y deshaciendo los cambios...

z  =  2 · ( mod(w) )^1/3 · cos ( arg(w) / 3 + k · 120º )     con     k  =  –1 ,  0  o  1

z  =  –0.43953222449 ,  2.49758127179  o  –2.05804904729

a  =  –0.77286555782 ,  2.16424793846  o  –2.39138238062

x  =  0.59732117048 ,  4.68396913913  o  5.71870969039

b  =  2.40267882952 ,  –1.68396913913  o  –2.71870969039

y  =  5.77286555782 ,  2.83575206154  o  7.39138238062

    Mire, profe. Está claro que ninguno de estos valores verifican el sistema inicial... ¡Son todas soluciones falsas! En realidad son soluciones de los sistemas

x + √y = 3                  x – √y = 3                  x – √y = 3

y – √x = 5                  y + √x = 5                  y – √x = 5

    Nina... impecable como siempre... Pero Pepe había afirmado que había otras soluciones reales... ¿tú que crees?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dio su opinión:

    Mire, profe. Hay cinco raíces quintas de un número complejo. Y once raíces undécimas y n raíces n-ésimas. Aunque Pepe anunciara soluciones reales, el sistema puede suponerse compuesto de ecuaciones complejas. (Los números reales son complejos.) Y por tanto los números complejos  x  e  y  tienen dos raíces cuadradas complejas. Aunque se suele escribir  ±√ , esto no tiene siempre sentido porque es inadecuado asignar el signo a cada raíz. Por ejemplo, las raíces cuadradas de  (8 – 6i)  son  (3 – i)  y  (–3 + i) ,  pero no se puede decir cuál de estas dos raíces es en realidad  +√(8 – 6i)  y cuál  –√(8 – 6i) . En este sentido, en el sistema complejo propuesto por Pepe,  √x  representa las dos raíces cuadradas del número complejos  x . Y lo mismo podemos decir de  √y . Por tanto, todas las soluciones encontradas por Nina son válidas.

    Zanjado el asunto... (Todavía hubo alguno que comentó que las soluciones de Nina eran solo buenas aproximaciones...)