1504. Si y solo si. RESOLUCIÓN

    En este problema de Pepe Chapuzas aparece un "si y solo si". Léelo e intenta resolverlo:

    Un triángulo es rectángulo si y solo si la distancia entre el circuncentro y el baricentro es un tercio del circunradio.

SOLUCIÓN

    Ahora le tocaba a Nina Guindilla la parte más sencilla:

    Mire, profe. Un triángulo rectángulo se puede inscribir en un semicírculo, por tanto la hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita, y el punto medio de la hipotenusa es el circuncentro. Por lo tanto, la mediana que biseca la hipotenusa es un circunradio..., y ya sabemos dónde se ubica el baricentro en las medianas: su distancia al vértice es el doble de su distancia al punto medio del lado bisecado... de donde se tiene el resultado.

    Ahora había que demostrar lo recíproco... 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se ayudó del siguiente dibujo...

    Mire, profe. Si O y G son el circuncentro y el baricentro del triángulo de vértices A, B y C, entonces el vector  

OG = (OA+OB+OC) / 3
3 OG = OA+OB+OC

    Sea  R = |OA| = |OB| = |OC|  el circunradio del triángulo ABC.
    Supongamos que 

|OG| = R/3
3 |OG| = R

entonces, tendremos...

|OA+OB+OC| = R

    Así...

(OA+OB+OC)² = R²
OA² + OB² + OC² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = R²
R² + R² + R² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = R²
2 R² + 2 OA·OB + 2 OA·OC + 2 OB·OC = 0
R² + OA·OB + OA·OC + OB·OC = 0
R² + R² cos2α + R² cos2β + R² cos2γ = 0
1 + cos2α + cos2β + cos2γ = 0
1 + 2cos²α  – 1 + 2cos²β  – 1 + 1 – 2sen²γ = 0
2cos²α  + 2cos²β  – 2sen²γ = 0
cos²α  + cos²β  – sen²γ = 0
cos²α  + cos²β  – sen²(180º–α–β) = 0
cos²α  + cos²β  – sen²(α+β) = 0
cos²α  + cos²β  – (senα cosβ + cosα senβ )² = 0
cos²α  + cos²β  – sen²α cos²β – cos²α sen²β  – 2senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α  (1–sen²β) + cos²β  (1–sen²α) – 2senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α cos²β + cos²β cos²α – 2senα senβ cosα cosβ = 0
2 cos²α cos²β – 2 senα senβ cosα cosβ = 0
cos²α cos²β – senα senβ cosα cosβ = 0
cosα cosβ (cosα cosβ – senα senβ ) = 0
cosα cosβ cos(α+β) = 0
cosα cosβ (–cos(180º –α–β)) = 0
–cosα cosβ cosγ = 0

    Algún coseno ha de ser nulo y por tanto algún ángulo es recto...