1502. Los hexágonos integérrimos. RESOLUCIÓN

    Mire, profe. ¿Habrá algún hexágono convexo en el plano cuyos seis vértices tengan coordenadas enteras y cuyos lados y diagonales tengan longitudes enteras (naturales)?

    Pepe Chapuzas poniendo a prueba a la clase... y al profe... Cuando le pedí una pista, contestó...

    Doy uno de los vértices: A(0, 0) (jajaja), solo hay que calcular los otros cinco: B, C, D, E y F. 

    ¿Quién quiere buscar algún hexágono así?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se acordó de las ternas pitagóricas...

    Profe, mire. Es fácil encontrar un triángulo con vértices "enteros" y lados "enteros". El famoso triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 con vértices en (0, 0), (3, 0) y (0, 4) valdría. Si adosamos varios triángulos pitagóricos podemos encontrar un hexágono "integérrimo"... Por ejemplo:

    Los lados miden

|AB| =  |CD| = |DE| = |FA| = 30

|BC| = |EF| = 14

    Y las diagonales

|AC| = |BD| = |DF| = |EA| = 40

|BE| = |CF| = |AD| = 50 

|BF| = |CE| = 48

    El hexágono ABCDE es integérrimo, convexo y, además, cíclico porque sus seis vértices descansan en una circuferencia... ¿Habrá algún pentágono integérrimo que no tenga tres vértices alineados ni cuatro vértices concíclicos?

RESOLUCIÓN

    Esta fue la respuesta de Yoyó Peluso...

    Profe, mire este pentágono...

    Los lados miden

|AB| = 32

|BC| = 50

|CD| = 65

|DE| = 33

|EA| = 34

    Y las diagonales

|AC| = 78

|AD| = |BD| = 65

|BE| = 34

|CE| = 56

    Podéis seguir buscando. Pero cuidado, con la restricción de que no haya tres vértices alineados ni cuatro concíclicos existen hexágonos y heptágonos integérrimos, pero no existen polígonos integérrimos con más vértices...