684. El baricentro del trapecio

    Habíamos visto que el baricentro (centro de gravedad) de un triángulo estaba en la intersección de sus medianas, y que el baricentro de un paralelogramo estaba en la intersección de sus diagonales, pero... ¿Dónde se hallaba el centro de gravedad de un trapecio?

    Pepe Chapuzas dio la siguiente respuesta:

    Mire, profe. Trapecio es una palabra griega que significa mesa. Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos patas... Si adosamos a ambas patas del trapecio sendos trapecios iguales pero invertidos obtenemos un trapecio mayor. La intersección de las diagonales de este trapecio grandote nos ubica el baricentro del trapecio inicial...

    Esto habrá que justificarlo, ¿verdad?

683. Series infinitas. RESOLUCIÓN

    Profe, mire:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... = 1/2

 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3

    Pepe Chapuzas había partido de dos cuadrados y un triángulo de área 1. Pregunté a los demás alumnos si admitían los dibujos como prueba de los cálculos de las sumas infinitas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla aplicó la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...  =  1/2 + (1/2)² + (1/2)³ + (1/2)⁴ + ...  =  (1/2) / (1–1/2)  =  1

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...  =  1/3 + (1/3)² + (1/3)³ + (1/3)⁴ + ...  =  (1/3) / (1–1/3)  =  1/2

1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...  =  1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + (1/4)⁴ + ...  =  (1/4) / (1–1/4)  =  1/3

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso escribió 1 en base 2, 1/2 en base 3 y 1/3 en base 4, como números periódicos (que es como escribir 1/9 = 0,1111... en base 10):

1  =  0,1111...₂  =  0,1₂ + 0,01₂ + 0,001₂ + 0,0001₂ + ...  =  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

1/2  =  0,1111...₃  =  0,1₃ + 0,01₃ + 0,001₃ + 0,0001₃ + ...  =  1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...

1/3  =  0,1111...₄  =  0,1₄ + 0,01₄ + 0,001₄ + 0,0001₄ + ...  =  1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...

682. Las abejas de Fibonacci. RESOLUCIÓN

    Un día llegó a clase Pepe Chapuzas con la sucesión de Fibonacci.

    Mire, Profe. Ya sabemos que la sucesión de Fibonacci se define por recurrencia:

F₁  =  1

F₂  =  1

F_n+2  =  F_n + F_n+1     ( n > 0 )

    Pero si los subíndices pudieran tomar valores enteros cualesquiera tendríamos:

F₀  =  F₂ – F₁  =  1 – 1  =  0

F–1  =  F₁ – F₀  =  1 – 0  =  1

F–2  =  F₀ – F–1  =  0 – 1  =  – 1

F–3  =  F–1 – F–2  =  1 + 1  =  2

F–4  =  F–2 – F–3  =   – 1 – 3  =  – 4

    Es decir

F–n  =  (–1)ⁿ⁺¹ · F_n     ( n > 0 )

    Esta fórmula funciona también para n = 0 ...

F₀  =  F–₀  =  – F₀     ( = 0 )

... ya que el 0 es el único número igual a su opuesto. La "sucesión completa" de Fibonacci sería:

    Cuando a Pepe le pican las abejas... Hablando de abejas ¿Qué relación existe entre las abejas y la sucesión de Fibonacci?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró la siguiente relación:

    Profe, mire. El sexo de las abejas no viene determinado por los cromosomas X e Y como el de las personas. Las abejas hembras surgen de huevos fecundados mientras que los machos lo hacen de huevos no fecundados. Así pues, en el mundo de las abejas, las obreras y las reinas tienen papá y mamá pero los zánganos no tienen papá, solo mamá (la abeja reina). Esto tiene una consecuencia importante en los árboles genealógicos de las abejas... Fijémonos en un zángano... Solo tiene dos abuelos y (si no hay endogamia) solo tiene tres bisabuelos, cinco tatarabuelos... ¿Lo ve? Los antepasados de un zángano están en la sucesión de Fibonacci.

RESOLUCIÓN

    Por otro lado, Yoyó Peluso encontró una relación muy diferente:

    Mire, profe. Tenemos una abeja en el asterisco ante un panal de dos filas de celdillas numeradas de izquierda a derecha. ¿De cuántas manera puede ir caminando sobre el panal empezando por el hexágono 1 y recorriendo celdillas contiguas en orden creciente (siempre hacia la derecha) hasta el hexágono N? 

La respuesta es F_N.