lunes, 24 de octubre de 2016

673. El polinomio interpolador. RESOLUCIÓN

    El reto del fin de semana era calcular un polinomio P(x) de tercer grado a partir de los datos:
P(–1) = 1
P(1) = –5
P(2) = –5
P(3) = 13
    Pepe Chapuzas planteó un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas...

    Profe, mire. Si el polinomio es P(x) = a + bx + cx2 + dx3, entonces el sistema que tengo es:
P(–1) = a – b + c – d = 1
P(1) = a + b + c + d = –5
P(2) = a + 2b + 4c + 8d = –5
P(3) = a + 3b + 9c + 27d = 13
    La matriz de coeficientes
es de Vandermonde y su determinante vale /M/ = (1+1)(2+1)(3+1)(2–1)(3–1)(3–2) = 48. Al coincidir el rango de la matriz de coeficientes, el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas ( rg(M) = rg(M*) = #{a,b,c,d} = 4 ) el sistema es compatible determinado (teorema de Rouché). Lo resuelvo como una ecuación matricial (usando la regla de Sarrus ¡16 veces!)...
    El polinomio buscado es P(x) = 1 – 5x – 3x2 + 2x3.
    Profe, con la regla de Cramer es igual de complicado... ¿Quizá con el método de Gauss?:
    Busca si existe otro método más cómodo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el polinomio interpolador con la fórmula de Lagrange, aunque tampoco era un método demasiado cómodo:

P(–1)·(x–1)·(x–2)·(x–3):(–1–1):(–1–2):(–1–3) +
+ P(1)·(x+1)·(x–2)·(x–3):(1+1):(1–2):(1–3) +
+ P(2)·(x+1)·(x–1)·(x–3):(2+1):(2–1):(2–3) +
+ P(3)·(x+1)·(x–1)·(x–2):(3+1):(3–1):(3–2)
=
1 · (x3 – 6x2 + 11x – 6) : (–24) +
+ (–5) · (x3 – 4x2 + x + 6) : 4 +
+ (–5) · (x3 – 3x2 – x + 3) : (–3) +
 + 13 · (x3 – 2x2 – x + 2) : 8
=
(–1/24–5/4+5/3+13/8)x3 + (1/4+5–5–13/4)x2 + (–11/24–5/4–5/3–13/8)x + (1/4–15/2+5+13/4)
=
2x3 – 3x2 – 5x + 1

    Seguid investigando...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró el método de las diferencias divididas de Newton...

    P(–1) = 1
                       P(–1,1) = –3
    P(1) = –5                            P(–1,1,2) = 1
                       P(1,2) =  0                               P(–1,1,2,3) = 2
    P(2) = –5                            P(1,2,3) = 9
                       P(2,3) = 18
    P(2) = 13

    P(x) = 1 – 3(x+1) + 1(x+1)(x–1) + 2(x+1)(x–1)(x–2) = 1 – 3x – 3 + x2 – 1 + 2x3 – 4x2 – 2x + 4 =
= 1 – 5x – 3x2 + 2x3.

    Profe, creo que este es el método más rápido...

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