669. De tercer grado (3ª parte). RESOLUCIÓN

    El verano suele hacer estragos... Quise repasar la regla de Ruffini que habíamos visto el curso anterior y alguno afirmaba que no la habíamos dado... Menos mal que Pepe Chapuzas sí se acordaba:

    Profe, la regla de Ruffini es muy fácil. Consiste en multiplicar, sumar, multiplicar, sumar..., desde el coeficiente principal hasta el término independiente de un polinomio... Y es útil para encontrar las raíces enteras...

    La verdad es que no le había quedado muy claro... pero lo peor estaba por llegar:

    Aunque si aplicamos la regla de Ruffini "al revés", o sea, si vamos multiplicando y sumando desde el término independiente hasta el coeficiente principal, entonces la regla es igual de útil para encontrar las raíces que son fracciones unitarias.

    Le pedí que se explicara mejor... En dos minutos ya se había preparado un ejemplo: el polinomio de tercer grado 30x³ – x² – 6x + 1.

    Mire, profe. Las raíces son –1/2, 1/3 y 1/5.

    Comprueba con la regla de Ruffini "al derecho" las raíces encontradas por Pepe Chapuzas...
    Calcula las raíces del polinomio de tercer grado 36x³ – 216x² + 263x – 90.

SOLUCIÓN

    La comprobación la hizo Nina Guindilla en un santiamén...

    La segunda cuestión era más complicada: las raíces de 36x³ – 216x² + 263x – 90 ni eran enteras ni eran fracciones unitarias... La regla de Ruffini no valía ni "al derecho" ni "al revés": era buscar agujas en un pajar... Y la fórmula general de las soluciones de la ecuación de tercer grado... mejor ni mencionarla... Nina optó por el método de Cardano (que aprendió en un taller de Matemáticas)...

    Profe, mire. Hay que resolver ax³ + bx² + cx + d = 0 mediante cambios de variable. 
    Primer cambio x = y – b/a/3. En nuestro ejemplo x = y + 2. Con este cambio se consigue una ecuación de tercer grado incompleta: ay³ = px + q. 

36(y+2)³ – 216(y+2)² + 263(y+2) – 90 = 0

36y³ + 216y² + 432y + 288 – 216y² – 864y – 864 + 263y + 526 – 90 = 0

36y³ = 169y + 140

    Segundo cambio y = u+v. Observe que y³ = (u+v)³ = u³ + 3u²v + 3uv² + v³ = 3uvy + u³ + v³.

36(3uvy+u³+v³) = 169y + 140

108uvy + 36(u³+v³) = 169y + 140

    Esta igualdad es cierta si uv = 169/108 y u³+v³ = 140/36 = 35/9, por lo tanto u y v son soluciones de la ecuación tricuadrada w⁶ – 35w³/9 + 169³/108³ = 0.
    Tercer cambio w³ = z + 35/18. Con ello evitamos utilizar la fórmula general de las soluciones de la ecuación de segundo grado: 

(z+35/18)² – 35·(z+35/18)/9 + 169³/108³ = 0

z² + 35z/9 + 35²/18² – 35z/9 – 35·35/18/9 + 169³/108³ = 0.

z² = –64009/1259712

z = ±0,22541607732i

    ¡Qué extraño es trabajar con números imaginarios para obtener raíces reales! Ahora toca deshacer los cambios en coordenadas rectangulares y polares con la calculadora...

w³ = 1,944444444444 ± 0,22541607732i = (1,957466884899; ±0,115413082215rad)

w₁ = (1,250925583244; ±0,038471027405rad) = 1,25 ± *******i

w₂ = (1,250925583244; ±2,132866129798rad) = –0,6666666666666 ± *******i

w₃ = (1,250925583244; ±4,227261232191rad) = –0,58333333333333 ± *******i

    Si las raíces son reales, entonces u y v son conjugados, por tanto, y = u + v = 2·Re(w), y no hace falta calcular Im(w) = *******.

y₁ = 2·5/4 = 5/2

y₂ = 2·(–2/3) = –4/3

y₃ = 2·(–7/12) =  –7/6

    Y las raíces que buscábamos son:

x₁ = 5/2 + 2 = 9/2

x₂ = –4/3 +2 = 2/3

x₃ = –7/6 + 2 = 5/6
 

    Nina debería haber hecho la comprobación. ¿La haces tú?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó las raíces con la regla de Ruffini "al derecho" y "al revés".