491. SOLUCIÓN de 191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó con la fórmula de los sólidos de revolución...

    Profe, mire. Si igualo los dos volúmenes obtengo el valor de a = 5/2.
    De forma análoga se procede para y=x³ ...

    Ahora tenemos a = (21/5)^1/2. Y para y=xⁿ ...

    Con lo que a = (n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1).
    Para calcular el límite de a cuando n tiende a infinito voy a resolver la indeterminación ∞⁰ con la regla de L'Hôpital. (Tomando logaritmos la indeterminación es ∞/∞.)

ln lim a = lim ln(n(2n+1)/(n+2))^1/(n–1) =

= lim ((ln(n)+ln(2n+1)–ln(n+2))/(n–1)) =

= lim (1/n+2/(2n+1)–1/(n+2)) = 0.

    Por lo tanto lim a = e⁰ = 1.

    Detalla los pasos de Nina... ¿Se puede utilizar la regla de L'Hôpital para calcular límites de sucesiones?

490. SOLUCIÓN de 190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=277mm y b=123mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla demostró el teorema antes de aplicarlo. ¡Había que ir sobre seguro! En su cuaderno estaba bien explicado...

    Partimos del teorema del seno: 

a : sen A = b : sen B

a : b = sen A : sen B

    Y aplicamos las reglas de la proporcionalidad:

(a + b) : (a – b) = (sen A + sen B) : (sen A – sen B) =

    Y aplicamos las fórmulas de transformación de sumas en productos:

= (2·sen((A+B):2)·cos((A–B):2)) : (2·cos((A+B):2)·sen((A–B):2)) =

    Y ya está: 

=  tg((A+B):2) : tg((A–B):2)

    Calculemos ahora: 

(A+B)/2 = (180º–C)/2 = 68º15',

a + b = 277+123 = 400mm y

a – b = 277–123 = 154mm.

    Y aplicando el teorema de la tangente:

(A–B)/2 = arctg (tg 68º15' · 154 : 400) = 43º58'48".

    Por lo tanto: 

A = 68º15' + 43º58'48" = 112º13'48" y

B =  68º15' – 43º58'48" = 22º16'12".

    Comprueba y detalla todos los pasos de la demostración y de los cálculos de Nina...

     

489. SOLUCIÓN de 189. Los aros de Johnson

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró el enunciado de los círculos de Johnson: 

    Si tres circunferencias (las azules) son iguales y se cortan en un punto triple (de las tres circunferencias) y en tres puntos dobles (de dos circunferencias), entonces la circunferencia que pasa por los tres puntos dobles (la roja) es igual a las otras.

    De la demostración solo hizo un esbozo:

    1) Si D, E y F son los centros de las circunferencias azules, se demuestra fácilmente que la circunferencia que pasa por D, E y F es igual a las otras.
    2) Si A, B y C son los puntos de intersección dobles, se demuestra que los vectores AB y ED son equipolentes, y de forma análoga AC y FD.
    3) Se deduce fácilmente entonces que los triángulos ABC y DEF son iguales y por lo tanto también son iguales sus circunferencias circunscritas, con lo que el teorema quedaría demostrado el teorema.

    Si completas la demostración y te llevarás un positivo...

488. SOLUCIÓN de 188. Filas y columnas

    Pepe Chapuzas estaba escribiendo la sucesión de los enteros no negativos (el 0 y los naturales) en una tabla. Los iba colocando en filas y columnas de la siguiente manera:

    Profe, mire. Cada entero no negativo tiene su sitio en esta tabla infinita. Y cada uno de ellos se puede localizar mediante sus coordenadas, esto es, sabiendo su fila y su columna. Así, el número 19 está en la fila 3 y en la columna 5. ¿Cuáles serían las coordenadas del número 55555? ¿Qué número se encuentra en la fila 100 y en la columna 100?

    Contesta a Pepe, pero sin hacer una tabla gigante...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Solo hay números en las casillas cuyas coordenadas son, o bien ambas pares, o bien ambas impares. Las demás casillas están vacías. Observe...
    Las coordenadas de 0 suman 0. (0+0=0.)
    Las coordenadas de 1, 2 y 3 suman 2. (0+2=1+1=2+0=2.)
    Las coordenadas de 4, 5, 6, 7 y 8 suman 4. Y así sucesivamente...
    Por otro lado, si nos fijamos en la fila 0 de la tabla (0, 1, 4, 9, 16...) vemos que se trata de los cuadrados de los enteros... Las coordenadas de N² son (0,2N) y las coordenadas de N²+K son (K, 2N–K) para cualquier K desde 1 hasta 2N. 
    Como el cuadrado anterior a 55555 es 235 tenemos 55555–235²=330 y 2·235–330 = 140, por lo que las coordenadas de 55555 son (330, 140), o sea, en la fila 330 y en la columna 140.
    En la fila 100 y en la columna 100, la suma de coordenadas es 2N = 100+100=200 por lo que N=100 y K=100, por lo tanto, en esa casilla se encontrará el número 100²+100 = 10100.

    Nina Guindilla se llevó su positivo...
    Averigua el número que se encuentra en la fila 371 y en la columna 81.

487. SOLUCIÓN de 187. Una habitación equilátera

    Profe, mire. El suelo de mi habitación es un triángulo equilátero. Y hay un punto en el suelo que dista, respectivamente, 3, 4 y 5 metros de las paredes. ¿Qué longitud tiene una pared?

   Dudo mucho que la habitación de Pepe Chapuzas tenga la forma y las dimensiones que dice, pero en cualquier caso, calcula el lado del triángulo. Espero tu solución...

SOLUCIÓN

    Le dije a Nina Guindilla que podía utilizar el teorema de Viviani para resolver el reto de Pepe. Nina buscó lo que afirmaba este teorema y esta fue su respuesta: 

    Con el teorema de Viviani se puede calcular la altura del triángulo: 3+4+5 = 12m. El lado del triángulo medirá 12·sec30º = 12·2:√3 = 13,8564m.

    Busca el enunciado y una demostración del teorema de Viviani y nos lo cuentas todo...

486. SOLUCIÓN de 186. El radio del posavasos

    Encontré a Pepe Chapuzas tomando un zumo en la cafetería del instituto. Con un bolígrafo estaba garabateando algo en un posavasos circular de papel. Cuando terminó su zumo (y sus garabatos) me mostró el posavasos. El dibujo ilustraba el reto que había escrito por detrás...

    Calcula el radio del posavasos de Pepe y nos cuentas cómo lo has hecho.

SOLUCIÓN

 

    Para calcular el radio del posavasos Nina lo "garabateó" aún más...

    Mire, profe. Si aplico el teorema de Pitágoras al radio de abajo tenemos r² = 2,5² + (5–x)², mientras que el radio de arriba mide r = 2,5·√3 + x, por lo tanto tenemos la siguiente ecuación: 2,5² + (5–x)² =  (2,5·√3 + x)². Aunque no lo parezca, esta ecuación es de primer grado y su solución me permite calcular el radio del posavasos. Cojo la calculadora y... ¡Sorpresa! ¡El radio también mide 5cm!

 

    Realiza los cálculos que no ha escrito Nina Guindilla. Busca una manera más sencilla de resolver este reto.

485. SOLUCIÓN de 185. El regalo de la caja

    Pepe Chapuzas trajo una caja al instituto... pero no tenía ningún regalo en su interior. De hecho no tenía "interior" porque era un ortoedro "macizo". El "regalo" consistía en la propia "caja"... Se trataba de uno de sus ya famosos retos...

    Esto que traigo es un ortoedro cuyas dimensiones (alto, ancho y largo) están en progresión geométrica. Su volumen es de 8 decímetros cúbicos y su superficie es de 32 decímetros cuadrados. ¿Cuánto suman las longitudes de sus aristas? (Por supuesto en decímetros lineales).

    Acepta el regalo de Pepe y regálanos la solución.

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla, el ladrillo de Pepe era lo menos parecido a un regalo...

    Profe, mire. Si las dimensiones están en progresión geométrica, entonces una de ellas, el término central, medirá 8^1/3 = 2dm. Y si R es la razón de la progresión las otras dimensiones medirán 2·R y 2:R. La superficie del ladrillo es 2·2·2·R+2·2·2:R+2·2·R·2:R = 32dm². Multiplicando por R y dividiendo por 8 tenemos la ecuación de segundo grado R²–3R+1=0. Como el coeficiente principal y el término independiente coinciden las soluciones son inversas, (3+√5)/2 y (3–√5)/2, y me dan las otras dimensiones del ortoedro, 3+√5 y 3–√5. La suma de las longitudes de las aristas será por lo tanto 4·(3+√5)+4·2+4·(3–√5) = 32dm.

    Comprueba que las soluciones de Nina son inversas. Demuestra que en una ecuación de segundo grado, si el coeficiente principal y el término independiente coinciden entonces las soluciones son inversas.

484. SOLUCIÓN de 184. Cinco divisores

    Profe, mire. Hay números naturales que tienen una cantidad par de divisores naturales y otros que tienen una cantidad impar. Por ejemplo, el 3 tiene 2 divisores (el 1 y el 3) y el 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4). ¿Sabría decirme cuál es el menor número natural que tiene 5 (y solo 5) divisores naturales?

    No le contesté a Pepe Chapuzas. Dejé que lo pensaran en clase y ahora dejo que lo pienses tú. Averigua de qué número se trata...
    ¿Sabrías decirme qué números naturales tienen una cantidad impar de divisores?

SOLUCIÓN: 

    Mire, profe. Resolver este reto es como organizar un baile, ya que los divisores de un número van emparejados… Por ejemplo, 30 tiene una cantidad par de divisores, exactamente 8 divisores: 30 = 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6. Al baile del 30 van 4 parejas… Sin embargo, un número cuadrado tiene una cantidad impar de divisores, como 36 que es el cuadrado de 6, que tiene 9 divisores: 36 = 1x36 = 2x18 = 3x12 = 4x9 = 6². El 6 es un divisor desemparejado (o emparejado consigo mismo, lo que a la hora de bailar viene a ser lo mismo)…

    Volviendo al reto, la solución tiene que ser un número cuadrado. Veamos:
    1 = 1² solo tiene 1 divisor.
    4 = 1x4 = 2² tiene 3 divisores.
    9 = 1x9 = 3² tiene 3 divisores.
    16 = 1x16 = 2x8 = 4² tiene 5 divisores... ¡Aquí está la solución!

    Como vemos, a Nina Guindilla se le da bien organizar bailes...
    Nina Había empezado una tabla donde aparecía el mínimo número natural N que tiene exactamente D divisores naturales... Completa la tabla:

D	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
M	1	3	4	6	16