42. Portadas con humor

    En las portadas del cuaderno de Pepe Chapuzas se entrevé su humor. Esta es la del tema de números irracionales...

    Inventa o busca algún dibujo que te resulte gracioso para ilustrar algún tema del curso y me envías la imagen, indicando la fuente, por correo electrónico.    

41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

    ¡Ánimo! Espero la solución.

40. Las recetas de Pepe Chapuzas...

    Profe, gracias a las calificaciones, si algo hemos aprendido a hacer bien, por la cuenta que nos trae, ha sido calcular las medias:

    Pepe Chapuzas no solo ha dado en el clavo sino que con el concepto de media ha asimilado algunas fórmulas de Estadística, Combinatoria y Probabilidad como se observa en las siguientes "recetas" apuntadas en su cuaderno:

    COVARIANZA. Calcular la media de los productos menos el producto de las medias:

    NÚMERO TRIANGULAR. Calcular la media aritmética entre un número y su cuadrado:

    PROBABILIDAD TOTAL. Calcular la media ponderada de las verosimilitudes...

    Y como estas hay un montón en el "recetario" chapucero de su cuaderno. Te propongo tres actividades:

    1. Escribe una "receta" para calcular la desviación típica y simplifica su fórmula al estilo de Pepe Chapuzas.
    2. ¿Por qué los número de fichas del dominó (28) y del dominó cubano (55) son números triangulares? ¿Por qué crees que se llaman triangulares estos números?
    3. ¿Cuáles son los "pesos" en el teorema de la probabilidad total desde el punto de vista de Pepe Chapuzas?

    Envíame las respuestas en un documento por correo electrónico. Nos vemos.

39. El Templo de las Luces

    Así llamaban al templo porque tenía una luz por cada día del año. Las luces, que no se fundían nunca, estaban numeradas del 1 al 365 (366 los años bisiestos) y cada una tenía un pulsador. Cuando se apretaba el pulsador, esa luz se encendía si estaba apagada o se apagaba si estaba encendida.
    El templo se inauguró el primer día del año con el encendido de todas las luces.
    El segundo día del año se apretaron los pulsadores de las luces 2ª, 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc.
    El tercer día del año se apretaron los pulsadores de las luces 3ª, 6ª, 9ª, 12ª, 15ª, etc.
    El cuarto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 4ª, 8ª, 12ª, 16ª, 20ª, etc.
    El quinto día del año se apretaron los pulsadores de las luces 5ª, 10ª, 15ª, 20ª, 25ª, etc.
    Y así sucesivamente cada día del año...
    ¿Cuántas luces y cuáles quedarán encendidas el último día del año?

    Este Pepe Chapuzas y sus retos...
    Resuélvelo. Espero tu comentario con la solución correcta.

38. Misterios de la derivada

    Profe, cuando hablamos de "esfera" unas veces nos referimos a la esfera maciza y otras a la superficie esférica. Para el equivalente en dos dimensiones tenemos dos palabras: círculo y circunferencia. Creo que los matemáticos tienen muy poca imaginación... o son unos chapuzas. Por cierto, si derivamos el área del círculo respecto del radio nos sale la longitud de la circunferencia, y si derivamos el volumen de la esfera nos sale su área. ¿Es una casualidad? Yo no lo creo...

    Le contesté a Pepe Chapuzas que no era una casualidad, y que cuando supiera algo más de las derivadas lo entendería perfectamente.
    Busca en Internet una explicación y le desvelas a Pepe este misterio.

37. Sopa de guarismos

    Pepe Chapuzas disfruta resolviendo pasatiempos matemáticos, pero más cuando es él quien los prepara para sus compañeros. Aquí tenéis el último que se ha ingeniado:

    Busca números capicúas en la siguiente sopa. (Por supuesto no valen los que tienen solo una cifra ni los que estén contenidos en otro número capicúa más largo). ¿Cuántos hay?

    ¡A por los capicúas! ¡Y no olvidéis que pueden aparecer en horizontal, en vertical y en diagonal!

36. Números para una exposición

    Profe, he recopilado números de distintos lugares y de distintas épocas, y estoy haciendo un álbum. Mire estos:

    Me gustó la idea de Pepe Chapuzas y le animé para hacer una exposición en el aula, a lo que accedió encantado. La exposición fue todo un éxito, pero al segundo día algún compañero "bromista" se llevó los títulos de las láminas y Pepe, molesto, se negó a poner títulos nuevos.
    Busca en Internet y pon tú los títulos, indicando de qué sistemas de numeración se trata y las cantidades que representan.

35. El gato del tangram

    Pepe Chapuzas es un virtuoso del tangram. No se le resiste ninguna figura. En su cuaderno de papel cuadriculado siluetea chapuceramente sus favoritas, como la del gato tumbado.

    El otro día se conmovió con la biografía de G. A. Pick, matemático austríaco de origen judío que murió en el campo de concentración nazi de Theresienstadt (hoy Terezin, Chequia), y como homenaje ha propuesto a sus compañeros que calculen, con la fórmula de Pick, el área que ocupa en su cuaderno el gato del tangram.
    Busca en Internet la fórmula de Pick y calcula esta área teniendo en cuenta que la separación entre puntos es de 1cm y que los puntos del borde de la figura no se ven.
   

34. De hexaminós y octamantes

    Profe, mire la página de los poliedros regulares... ¡Qué feos que son los desarrollos del hexaedro y del octaedro del libro de este año! Los del año pasado me gustaban más.


HEXAMINÓ                                  OCTAMANTE

    No sé si Pepe Chapuzas se refería al color o al tamaño... Pues ni lo uno ni lo otro, se refería a la forma, es decir, a la disposición de los cuadrados y de los triángulos. Entonces le comenté que los desarrollos del hexaedro eran hexaminós (recortables reversibles con 6 cuadrados adosados) y que los desarrollos del octaedro eran octamantes (recortables reversibles con 8 triángulos equiláteros adosados).
    Aunque hay muchos hexaminós y octamantes diferentes, solamente 11 hexaminós son desarrollos del hexaedro y solamente 11 octamantes son desarrollos del octaedro. Descubre estos desarrollos y dibújalos, ¡a ver si los consigues todos!, y envíamelos por correo electrónico. (¡Ojo! Solo hay 11 de cada. Al ser reversibles, se les puede dar la vuelta y obtenemos sus simétricos, que no cuentan).

33. Los secretos de las estrellas

    Los dibujos del cuaderno de Pepe Chapuzas no son solo ornamentales. Son reglas nemotécnicas o, como dice Pepe, son estrellas con secreto. Mirad las tres estrellas de la contraportada... Y oíd la explicación de Pepe...

    La primera me da el orden de los sostenidos (fa do sol re la mi si) y los bemoles (si mi la re sol do fa) en las armaduras musicales a partir de la escala. La segunda me clasifica los colores en primarios (rojo amarillo azul) y secundarios (verde violeta naranja) a partir del arco iris (sin el añil). La tercera me da el orden de las antiguas esferas celestes (Luna Mercurio Venus Sol Marte Júpiter Saturno) a partir de los días de la semana.

    Busca una estrella y descubre su secreto.

32. ¡Buena puntería! ;-)

    A Pepe Chapuzas también le gustan las novelas policíacas. Lo mejor es que a veces se inventa un relato para detectives matemáticos. Y si no os lo creéis aquí os presento su último caso:

    Siempre me llamó la atención aquella pared agujereada del mesón... El mesonero cuenta una historia diferente cada día sobre el origen de los enigmáticos agujeros para entretener a una fiel clientela tan expectante como incrédula... Esa tarde, al parecer, los famosos agujeros los produjeron las balas que acabaron con el Cojo... Al final, resultó que el Cojo era un triángulo escaleno de malísima reputación... El caso fue que una noche, en un ajuste de cuentas, al Cojo le descerrajaron cuatro tiros en sus puntos notables: el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro... La historia acabó en discusión entre el público acerca de cuál agujero correspondía a cada "centro"...

    Haz de detective matemático y danos una opinión justificada del asunto.

31. El ojo de Horus

    A Pepe Chapuzas le interesan muchas y variadas disciplinas. Por ejemplo, la Música y la Egiptología. Y en cuanto encuentra una relación matemática la anota (más bien la dibuja) en su cuaderno. En este sentido su cuaderno es un tesoro. Os muestro algo que me llamó la atención.

    Indagad en Internet y averiguad qué relación hay entre las partes del ojo de Horus y las figuras musicales.

30. Reto navideño

    Pepe Chapuzas ha propuesto un reto para Navidad. Pero por ser Navidad dice que es voluntario:

    Descompón en factores primos los números de este árbol de Navidad. El primero, claro, no se puede, y el último lo pongo aquí porque es muy difícil: 999999999 = 3 x 3 x 3 x 3 x 37 x 333667. Para los demás se puede consultar la lista de números primos de la Wikipedia.

    Ánimo, y que no te den las uvas. Y que aunque sea voluntario, el que lo haga tendrá regalito de Navidad...