Pepe Chapuza estaba trabajando con el siguiente polinomio de segundo grado:
Pm(x) = x2 + m
Mire, profe. Si componemos Pm consigo mismo tenemos un polinomio de cuarto grado:
Pm2)(x) = Pm(Pm(x)) = Pm(x2 + m) = (x2 + m)2 + m = x4 + 2mx2 + m2 + m
Si volvemos a componer tenemos Pm3)(x) que será un polinomio de octavo grado... y así sucesivamente Pmn)(x) será un polinomio de grado 2n. Pues bien, consideremos ahora la sucesión Pmn)(0) (donde Pm1)(0) = Pm(0) = m). Los primeros términos de esta sucesión son: m, m2 + m, (m2 + m)2 + m, ... La cuestión es: ¿Cuál es el comportamiento de esta sucesión?
Dicho comportamiento dependerá del valor de m, ¿verdad?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla probó con algunos valores para m.
Profe, mire. Si m = 0, la sucesión es constante: 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... Si m = 1, la sucesión diverge rápidamente: 1, 2, 5, 26, 677, 458330, ... Si m = −1, la sucesión es oscilante: −1, 0, −1, 0, −1, 0, ... Pongamos un poco de orden... ¿Para qué valores de m, la sucesión Pmn)(0) tiene puntos límite y cuántos? Consideramos la "función" L(m) que a cada valor de m le hace corresponder el conjunto de los puntos límite de la sucesión Pmn)(0). En los casos anteriores, L(0) = {0}, L(1) = {} y L(−1) = {−1, 0}.
Buscaremos primero sucesiones con un punto límite lm = lim n→∞ Pmn)(0), esto es, L(m) = {lm}, es decir, sucesiones convergentes... Para ese valor, lm = Pm(lm). Buscaremos los casos seguros en los que −1 < Pm'(lm) < 1.
Pm(lm) = lm2 + m = lm
lm2 − lm + m = 0
lm = 1/2 ± √(1/4−m)
La derivada...
Pm'(lm) = 2·lm
−1 < 2·lm < 1
−1 < 1 ± 2√(1/4−m) < 1
−1 < −√(1/4−m) < 0
−1 < m − 1/4 < 0
−3/4 < m < 1/4
Estos no son los únicos valores de m que aseguran la convergencia. Para m = −2 tenemos la sucesión: −2, 2, 2, 2, 2, 2, esto es, L(−2) = {2}. También se tiene la convergencia para m = 1/4 con L(1/4) = {1/2} y para m = −3/4 con L(−3/4) = {−1/2}.
Busquemos ahora las sucesiones con dos puntos límite, o sea, L(m) = {lm, Pm(lm)}. Ahora tenemos que lm = lim n→∞ Pm2n−1)(0) y que lm = Pm2)(lm).
Pm2)(lm) = lm4 + 2·m·lm2 + m2 + m = lm
lm4 + 2·m·lm2 − lm2 + m2 + m = 0
Simplificamos la ecuación eliminando las soluciones correspondientes a sucesiones convergentes, en las que lm= Pm(lm) = Pm2)(lm).
( lm4 + 2·m·lm2 − lm2 + m2 + m ) / ( lm2 − lm + m ) = 0
lm2 + lm + m + 1 = 0
lm = −1/2 − √(1/4−m−1)
Pm(lm) = −1/2 + √(1/4−m−1)
La derivada...
−1 < Pm2) '(lm) < 1
−1 < 4·lm3 + 4m·lm < 1
−1/4 < lm·(lm2 + m) < 1/4
−1/4 < lm·(−lm−1) < 1/4
−1/4 < − lm2 − lm < 1/4
−1/4 < m + 1 < 1/4
−5/4 < m < −3/4
Podemos dibujar a mano estos dos arcos de parábola en una gráfica... pero el grado de las ecuaciones crecen exponencialmente respecto del número de puntos límite... así que solo con la fuerza bruta de los ordenadores podemos ver cómo se duplican una y otra vez los puntos límite en el denominado diagrama de bifurcaciones o árbol de Feigenbaum. ;-)
Los arcos entre bifurcaciones son cada vez más pequeños. ¿A qué ritmo menguan?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota encontró en Internet las llamadas constantes de Feigenbaum que nos dan una idea de cómo menguan los arcos a lo largo y a lo ancho: ¡casi como progresiones geométricas!
Profe, mire. La primera constante de Feigenbaum es δ = 4,6692... = lim n→∞ (dn/dn+1) y la segunda constante de Feigenbaum es α = 2,5029... = lim n→∞ (an/an+1).
Mire, profe. ¡Hemos estado estudiando la parte real del conjunto de Mandelbrot!
