1575. Infinitos, quebrados y mantisas.

    Profe, mire. Hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales en el intervalo [0, 1]. Racionales e irracionales están completamente mezclados... Quiero decir que entre dos racionales cualesquiera siempre hay un irracional y entre dos irracionales cualesquiera siempre hay un racional... Pero hay más irracionales que racionales. ¡Son dos infinitos diferentes!

    Esta afirmación de Pepe Chapuza había que explicarla...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla estaba en condiciones de explicarlo todo...

    Mire, profe. Vamos a probar que en el intervalo [0, 1] la cantidad de todos los racionales (infinito) es menor que la cantidad de todos los irracionales (también infinito). Es decir, son dos infinitos diferentes... Para ello vamos a ver que se pueden emparejar tales racionales con los números naturales, y diremos que ese infinito es numerable, mientras que no hay manera de emparejar los irracionales con los naturales, siempre quedan irracionales sin pareja, y diremos aquí que es un infinito no numerable..., un infinito mayor...

    Los compañeros estaban atentos...

    Empecemos con los racionales. Emparejar todos los racionales de [0, 1] con los naturales es lo mismo que establecer una sucesión de tales racionales. Hela aquí:

0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/8, ...

    A cada número racional de [0, 1] le corresponde una fracción irreducible cuyo denominador es positivo y cuyo numerador no es ni menor que cero ni mayor que el denominador. (Por comodidad llamaremos quebrados a estas fracciones.) La secuencia es evidente: primero van los enteros, luego va el medio, después los tercios, los cuartos, los quintos, los sextos... Llamemos a esta sucesión  A .

    Sigamos con los irracionales. Supongamos que los irracionales de [0, 1] también se pueden emparejar con los naturales, entonces habrá una sucesión  B  de todos ellos.

    Consideremos ahora la sucesión  C  definida así:  C(2n−1) = B(n) ;  C(2n) = A(n) . Esto es, en C se alternan los términos de  B  y de  A . (Irracional. racional, irracional, racional...) Todos los términos de  C  se pueden escribir como expresiones decimales con parte entera 0. (Para abreviar llamaremos mantisas a estas expresiones...)

C(1) = B(1) = 0,3550431...

C(2) = A(1) = 0.0000000...

C(3) = B(2) = 0,8466720...

C(4) = A(2) = 0,9999999...

C(5) = B(3) = 0,7712836...

    Me he inventado C(1), C(3) y C(5) lo cual es irrelevante... Los términos  C(2) = 0/1 = 0  y  C(4) = 1/1 = 1. Para C(6) habría dos posibilidades (dos mantisas que representan la misma cantidad):

C(6) = A(3) = 1/2 = 0,5000000...

C(6) = A(3) = 1/2 = 0.4999999...

    Elegimos la primera, 0,5000000... ¿Como continúa la sucesión  C ? Veamos...

    Hay infinitos quebrados que equivalen cada uno de ellos a dos mantisas: digamos una con período 0 y otra con período 9. Estos quebrados tienen denominadores de la forma 2^a·5^b (salvo si a=b=0 que corresponden a C(2) y C(4)). Para los términos C(2n) correspondientes vamos eligiendo las mantisas alternando el período 0 con el período 9. Así los siguientes casos serían 

C(12) = A(6) = 1/4 = 0,2499999... (período 9)

C(14) = A(7) = 3/4 = 0,7500000... (período 0)

C(16) = A(8) = 1/5 = 0,1999999... (período 9)

C(18) = A(9) = 2/5 = 0,4000000... (período 0)

    La cantidad de cifras del anteperíodo de estos quebrados es  máx(a,b) . Vamos a ver que si el denominador de  C(2n)  es  2^a·5^b  entonces  máx(a,b) < 2n . 

    Por lo pronto  máx(a,b) < 2^a·5^b  ya que si a = máx(a,b)  entonces  a < 2^a ≤ 2^a·5^b  y si b =  máx(a,b)  entonces  b < 2^b ≤ 2^a·5^b .

    Por otro lado, hay al menos un quebrado para cada denominador. Para cualquier denominador N tenemos al menos el quebrado 1/N. Así que si  A(n) = K/N , entonces  N≤n. Si  N = 2^a·5^b  entonces  2^a·5^b < 2n , por lo que la cantidad de cifras del anteperíodo de  C(2n) = K/N  será menor que 2n.

    Ahora volvemos a los ejemplos y consideremos la mantisa  M = 0,30698...  formada con el primer decimal de C(1), el segundo decimal de C(2), el tercer decimal de C(3) y así sucesivamente... Como para cada quebrado de la forma  K / (2^a·5^b) = C(2n)  el anteperíodo de su mantisa no incluye al decimal 2n-ésimo, entonces este decimal, que también lo es de M, está en la parte periódica, es decir, o es un 0 o es un 9. Así, M tiene infinitos ceros e infinitos nueves (porque fuimos alternando los períodos...). Y lo mismo le pasa a la mantisa de 1−M = 0,69301... (que será por tanto la única mantisa del número 1−M  al no tener ni período 0 ni período 9). 

    Pues bien. El número 1−M no está en la sucesión C porque difiere de C(1) en el primer decimal, de C(2) en el segundo decimal, de C(3) en el tercer decimal, y así sucesivamente. Además 1−M no puede ser racional porque la sucesión A. que es una subsucesión de C, recorre todos los quebrados. Por tanto 1−M es un irracional de [0, 1] sin pareja natural, que es lo que pretendíamos mostrar...

    ¿Puede alguien ilustrar con dibujos el razonamiento de Nina?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota era un buen ilustrador...

    Mire, profe, Intercalar en C los términos de A y de B me recuerda al hotel de Hilbert:

    Las idea de las mantisas M y 1−M se denominan método de la diagonal de Cantor:

    Al obtener 1−M se produce esta mutación de dígitos decimales (sustituimos cada decimal D por 9−D) como se aprecia en este "reloj decimal":

    El cardinal (cantidad) de los números racionales se denomina álef sub cero y el cardinal de los números irracionales se denomina bet sub uno. (Álef y bet son los nombres de las dos primeras letras de alfabeto hebreo.)

    ¡Hay dos infinitos diferentes!

    En realidad hay infinitos infinitos diferentes... Pero lo asombroso es que la mente finita del hombre empezase a entender el infinito...

1574. Las matemáticas de las telarañas

     Propuse para el día siguiente un trabajo en común sobre las matemáticas de las telarañas... Y al día siguiente Pepe Chapuza empezó aportando ideas:

    Profe, mire...

    La telaraña de la araña de jardín (Araneus diadematus) está formada por radios y una espiral de seda. Esta se asemeja a la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas polares es  r(θ) = aθ + b . ¡Es un polinomio de primer grado! La distancia entre dos vueltas sucesivas es constante. Se utilizó este tipo de espiral en los antiguos discos de vinilo...

    La telaraña de la araña casera (Steatoda triangulosa) es más irregular y en ella podemos observar los segmentos entre radios en forma de catenaria, cuya ecuación es  f(x) = a cosh(x/a) . Esta curva de seda se sujeta a sí misma por lo que invertida da lugar a un arco capaz de soportarse a sí mismo. Gaudí utilizó este tipo de arcos en su arquitectura.

    No estaba mal para empezar con el trabajo. Seguid investigando...

SOLUCIÓN

    Oigamos las aportaciones de Nina Guindilla...

    Profe, mire. Algunas arañas tejen unas telarañas tupidas con diferente finalidad...

    La araña de agua (Argyroneta aquatica) construye con seda una cámara bajo el agua para llenarla de aire para respirar. La burbuja encerrada en la cámara tiende a adoptar forma de elipsoide. La ecuación del elipsoide es  x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 . Es una superficie con curvatura total positiva.

    La araña de embudo (Hadronyche modesta) fabrica su trampa en forma de embudo similar a un hiperboloide hiperbólico de ecuación  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 . Es una superficie con curvatura total negativa. (No se debe confundir con el hiperboloide elíptico, de ecuación  x²/a² − y²/b² − z²/c² = 1 , y que tiene curvatura total positiva.)

    ¿Alguna aportación más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos habló del cono y del cilindro. Dos superficies desarrollables con curvatura total nula...

    Profe, mire.

    La tarántula (Brachypelma smithi) excava una guarida cilíndrica en el suelo y la tapiza con seda entretejida. La ecuación del cilindro elíptico es  x²/a² + y²/b² = 1 . (No se puede confundir con el cilindro hiperbólico ni con el cilindro parabólico.)

        La boleadora (Mastophora extraordinaria) es mi favorita. Con una pata es capaz de imprimir un movimiento circulatorio a una hebra de seda de la que pende una pesada gota pegajosa en el extremo. La hebra genera un cono virtual en el aire. La ecuación del cono es  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0 .

    El misterioso mundo de las arañas te aguarda con sus secretos. Sigue investigando...

1573. Los teselados semirregulares

     Nos recordó Pepe Chapuzas que sólo había tres tipos de teselados regulares. 

    Mire, profe. Los teselados regulares tienen que cumplir las siguientes condiciones:

    - Han de estar formados por polígonos regulares iguales.

    - Han de ser capaces de rellenar el plano sin solapes ni huecos.

    - Los polígonos han de acoplarse juntando aristas con aristas y vértices con vértices. 

    

    Para ilustrar la tercera condición puso ejemplos...

    Y de paso ya teníamos dos de los tres tipos de teselados regulares: el formado por triángulos equiláteros y el formado por cuadrados. El tercero está formado por hexágonos regulares...

    Mire, profe. No puede haber más teselados regulares. Si los polígonos tienen más de seis lados entonces en cada vértice se juntan al menos tres ángulos mayores de 120º y se solaparían. Con cuatro pentágonos también se solaparían: 4·108º = 432º > 360º. Y con tres pentágonos quedarían huecos: 3·108º = 324º = 360º − 36º. 

    Mire, profe. ¿Y si permitimos teselados con varios tipos de polígonos regulares con tal de que su ensamble en cada vértice siga siempre la misma disposición? 

    Esos eran los teselados semirregulares... ¿De cuántos tipos hay?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla encontró ocho. 

    Mire, profe. Los diferentes tipos de teselados semirregulares quedan determinados por la disposición de los poliedros alrededor de un vértice. Los teselados regulares serían 3·3·3·3·3·3, 4·4·4·4 y 6·6·6.

    Y los semirregulares:

    ¿Seguro que no hay más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota tenía la última palabra...

    Profe. mire. El teselado 3·3·3·3·6 es quiral, por lo que hay dos versiones. En este sentido habría 9 tipos de teselados semirregulares...

1572. El sexto polícoro

    Profe, mire. ¿Sabe cuántos polítopos regulares convexos existen?

    Sin dimensiones solo hay uno: el punto.

    En una dimensión solo hay uno: el segmento.

    En dos dimensiones hay infinitos: los polígonos regulares convexos.

    En tres dimensiones hay cinco: los poliedros regulares convexos (los sólidos platónicos).

    En cuatro dimensiones hay seis: los polícoros regulares convexos.

    En una cantidad mayor de dimensiones hay tres polítopos regulares convexos...

    Con esta enumeración, Pepe Chapuza daba a conocer el concepto de polítopo... (Se trataba de ir generalizando sucesivamente añadiendo dimensiones...) Hasta el espacio tridimensional los controlábamos todos y a partir del espacio pentadimensional nos resultaba imposible de imaginar..., así que le pedí a Pepe que se centrara en el espacio tetradimensional y nos hablara de los seis polícoros.

    Mire, profe.. Si los poliedros tienen vértices (puntos), aristas (segmentos) y facetas (polígonos), los polícoros tienen además celdas (poliedros). Cinco de los polícoros están relacionados con los cinco poliedros platónicos. Si llamamos V, A, F y C al número de vértices, aristas, facetas y celdas tenemos

    1. El pentácoro, V=5, A=10, F=10, C=5. Las celdas son tetraedros. Es autodual.

    2. El teseracto u octácoro, V=16, A=32, F=24, C=8. Las celdas son cubos o hexaedros.

    3. El hexadecácoro, V=8, A=24, F=32, C=16. Las celdas son tetraedros. Es dual del anterior.

    4. El hecatonicosácoron. V=600, A=1200, F=720, C=120. Las celdas son dodecaedros.

    5. El hexacosícoro, V=120, A=720, F=1200, C=600. Las celdas son tetraedros. Es dual del anterior.

    Estaba claro que eran los análogos tetradimensionales del tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro respectivamente... Pero... ¿cuál era el sexto polícoro regular convexo?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos lo desveló...

    6. El icositetrácoro, V=24, A=96, F=96, C=24. Las celdas son tetraedros. Es autodual.

    Además, nos mostró en Internet unas proyecciones en el plano de los seis polícoros para que nos los imagináramos. (Difícil tarea en cuatro dimensiones... aunque no imposible... Al menos los más sencillos...) 

    Eso sí, con la enumeración completa de los seis polícoros regulares convexos era fácil conjeturar una fórmula de Euler para el espacio tetradimensional. ¿La adivinas? ¡A ver si aciertas con ella!

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota acertó:

1571. De todo corazón...

     Pepe Chapuza había dibujado una cardioide en su bloc de dibujo.

    Mire, profe. La cardioide se puede obtener...

    1. Como la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda alrededor de otra circunferencia fija del mismo tamaño. (Epicicloide.)

    2. Como la envolvente de los rayos reflejados, en el interior de una circunferencia fija, de los rayos emitidos desde un punto fijo de dicha circunferencia fija. (Catacáustica.)

    3. Como la envolvente de las circunferencias, con centro en una circunferencia fija, que pasan por un punto fijo de dicha circunferencia fija.

    Y de muchas otras formas.

    Obtén la ecuación de la cardioide.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trabajó con coordenadas polares.

    Profe, mire.

    Con la primera descripción de Pepe, si los diámetros de las circunferencias miden 1, podemos considerar el trapecio isósceles verde  (que puede degenerar en algún punto sin perjudicar el razonamiento) cuyos lados no paralelos miden 1/2 y cuyos lados paralelos miden 1 y  r = 1 − cos t . Esta es la ecuación  r(t) = 1 − cos t , donde  r  es el radio vector y  t  es el ángulo polar (entre 0 y 2π). El polo se encuentra en la cúspide de la cardioide.

    Nina también mostró con dibujos las otras dos descripciones de Pepe...

    Para terminar... ¿Quién quiere calcular el área encerrada por la cardioide y el perímetro (longitud del arco de la cardioide)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo los cálculos...

    Mire, profe. Como la cardioide es simétrica, el área será

2 · 1/2 · ʃ ₀^π r²(t) dt  =  ʃ ₀^π ( 1−cos t )² dt  =

=  ʃ ₀^π ( 1 − 2 cos t + cos²t ) dt  =  ʃ ₀^π ( 1 − 2 cos t + 1/2 + 1/2 · cos 2t) dt  =

=  ʃ ₀^π ( 3/2 − 2 cos t + 1/2 · cos 2t) dt  =  ( 3t/2 − 2 sen t + 1/4 · sen 2t ) /₀^π  =

=  3π/2

    Un bonito resultado para una curva con forma de corazón... Las tres áreas coloreadas con azules de distinta tonalidad son iguales:

    Para el perímetro tenemos la siguiente integral:

2 ʃ ₀^π √ ( r ²(t) + r' ²(t) ) dt  =  2 ʃ ₀^π √ ( r ²(t) + r' ²(t) ) dt  =

=  2 ʃ ₀^π √ ( 1 − 2 cos t + cos²t + sen²t ) dt  =  2 ʃ ₀^π √ ( 2 − 2 cos t ) dt  =

=  2 ʃ ₀^π 2 sen (t/2) dt  =  2·2·2·(−cos (t/2) /₀^π  =

=  8

    Que coincide con el perímetro de este cuadrado...

1570. Porcentajes consecutivos...

    Propuse en clase un problemita y me encontré con un problemazo:

    El año pasado me subieron el sueldo en un 20% y este año me lo han subido en otro 20%. ¿Qué porcentaje me subieron en los dos años?

    Estaba claro que era un problema de la vida real pero no demasiado real... El caso es que la respuesta inmediata de mis alumnos fue el 40%. Menos mal que Pepe Chapuza dio un resultado distinto...

    Mire profe: 2,20 · 0,20 · 100 = 44. Le subieron el 44%. ¡Ya nos podría convidar...!

    ¿Qué es lo que ha hecho Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo explicó: 

    Mire, profe. El segundo año le subieron el sueldo que ya le habían subido el año anterior. El 20% de subida se aplica a cantidades distintas cada año. Sería:

((1+0,20)·(1+0,20)−1)·100 = (1,20·1,20−1)·100 = (1,44−1)·100 = 0,44·100 = 44

    Lo que ha hecho Pepe es aplicar el tercer producto notable...

(1,20²−1)·100 = (1,20+1)·(1,20−1)·100 = 2,20·0,20·100

    Entonces prolongué el problemita:

    El año que viene (el tercer año del problema) me van a bajar el sueldo en un 44%. ¿Cuál es el porcentaje resultante en los tres años?

    Ahora, los chicos se lo pensaron antes de contestar un 0%... A los chicos no les gustan los ceros...

RESOLUCIÓN

    Era el turno de Yoyó Gaviota:

    Profe, mire: 

((1+0,44)·(1−0,44)−1)·100 = (1,44·0,56−1)·100 = (0,8064−1)·100 = −0,1936·100 = −19,36

o aplicando el tercer producto notable...

(1−0,44²−1)·100 = −0,44² · 100 = −19,36

    ¡En tres años le van a bajar al final el sueldo en un 19,36%!

    Esto ya se acercaba a la realidad...

1569. El teorema del reverendo Holditch

     Hay resultados matemáticos realmente sorprendentes. Pepe Chapuza expuso en la clase el teorema de Holditch...

     Mire, profe... Así lo enunció el propio Holditch:

     "Si una cuerda de una curva cerrada, de longitud constante c+c', se divide en dos partes de longitudes c, c' respectivamente, la diferencia entre las áreas de la curva cerrada, y el lugar geométrico del punto de división, será πcc'."

    Hay que perdonar que el enunciado omita las hipótesis, que se presuponen en la demostración, acerca de las curvas y de la cuerda... El teorema es increíblemente hermoso, porque el área que nos da es la de una elipse de semiejes c y c' aunque la curva inicial no esté emparentada con las elipses...

    La demostración de Holditch no era menos hermosa... Primero tenemos que recordar cómo se puede calcular el área que barre un segmento tangente, a una curva cerrada convexa orientada, de argumento θ ∈ [0, 2π] y módulo t(θ), función suave, tal que t(0) = t(2π); es decir, el área de la corona entre la curva cerrada convexa y la curva en que se apoyan los extremos de los segmentos tangentes, que es una curva cerrada simple.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos lo recordó:

    Mire, profe. Podemos dividir la corona mediante segmentos tangentes a la curva interior en regiones parecidas a triángulos. Si tenemos dos segmentos tangentes próximos con argumentos θ y θ' y módulos t(θ) y t(θ'), el área de la región parecida a un triángulo será aproximadamente 1/2·t(θ)·t(θ')·sen(θ'−θ). Cuando θ'→θ, entonces t(θ')→t(θ), y podemos escribir el área entre las dos curvas como 

 ʃ ₀^2π 1/2·t(θ)· t(θ)·sen(dθ) = 1/2 ʃ ₀^2π t²(θ) dθ

    Ya solo quedaba demostrar el teorema del reverendo Holditch...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota empezó con las hipótesis que faltaban...

    Profe, mire. Vamos a exigir que la curva inicial A sea convexa y la cuerda lo bastante corta para evitarle movimientos retrógrados y permitirle una revolución completa, asegurando un lugar geométrico B, del punto de división, suave y simple.

   Y siguió con la demostración propiamente dicha...

    Mire, profe. Consideremos, además, la envolvente orientada C de las cuerdas que será una curva convexa. C será interior a B y B interior a A. Llamemos [A], [B] y [C] a las áreas encerradas por A, B y C respectivamente. El área del teorema es [A]−[B]. 

    Las cuerdas son tangentes a su envolvente. Por tanto, por un lado

[A]−[C] = 1/2 ʃ ₀^2π t²(θ) dθ

pero también, por el otro lado

[A]−[C] = 1/2 ʃ ₀^2π ( c+c'−t(θ) )² dθ  =

=  1/2 ʃ ₀^2π ( (c+c')²+t²(θ)−2(c+c')t(θ) ) dθ  =

= (c+c')² π + 1/2 ʃ ₀^2π t²(θ) dθ − (c+c') ʃ ₀^2π t(θ) dθ

de donde

ʃ ₀^2π t(θ) dθ  =  (c+c') π

    Del mismo modo

[B]−[C] =  1/2 ʃ ₀^2π ( t(θ)−c )² dθ  =

=  1/2 ʃ ₀^2π ( t²(θ)+c²−2c t(θ) ) dθ  = 

=  1/2 ʃ ₀^2π t²(θ) dθ  + c² π −c (c+c') π  = 

=  1/2 ʃ ₀^2π t²(θ) dθ  − cc' π  =

=  [A]−[C] − cc' π 

de donde

[A]−[B] =  cc' π

1568. ¡Nuevo, nueva y... nueve!

    

¡Nuevo, nueva y... nueve!

    ¡No! Pepe Chapuza no estaba imitando a ningún político ni quería polemizar sobre el género gramatical. Había confeccionado una lista en varios idiomas:

    Español: Nuevo / Nueva / Nueve

    Francés: Neuf / Neuve / Neuf

    Portugués: Novo / Nova / Nove

    Italiano: Nuovo / Nuova / Nove

    Catalán: Nou / Nova / Nou

    Rumano: Nou / Nouă / Nouă

    Mire, profe. ¿Estarán relacionadas de alguna manera las palabras nuevo y nueve? ¿En algún momento el 9 fue un número "nuevo", de ahí su nombre? 

    Le contesté a Pepe que el parecido podía ser pura casualidad. Esas lenguas eran hermanas porque eran hijas del latín...

    Latín: Novus / Nova / Novum / Novem

    Si inicialmente se parecían las palabras... era lógico que aún se parecieran... 

    Otro ejemplo: ¿Dios, diosa y... diez?

    Latín: Deus / Dea / Decem

    Español: Dios / Diosa / Diez

    Francés: Dieu / Déesse / Dix

    Portugués: Deus / Deusa / Dez

    Italiano: Dio / Dea / Dieci

    Catalán: Déu / Deessa / Deu

    Rumano: Zeu / Zeiță / Zece

    ¡E incluso...!

    Letón: Dievs / Dieviete / Desmit

    Lituano: Dieve / Deivé / Dešimt

    Galés: Duw / Duwies / Deg

    Sigue investigando...

 SOLUCIÓN

    Nina Guindilla siguió con el nueve en otros idiomas...

    Inglés: New / Nine

    Alemán: Neu / Neun

    Holandés: Nieuw / Negen

    Noruego: Ny / Ni

    Hindi: Naya / Nau

    Irlandés: Nua / Naoi

    Islandés: Nýtt / Níu

   Profe, mire. No sé si "nueve" significa número nuevo..., pero está claro que el nombre del 9 es tan viejo como la lengua antepasada común de las lenguas que hemos mencionado... y de muchas otras lenguas... Lo mismo se puede decir de los nombres de los demás números... Veamos 8 noches ...

    Latín: Octo noctes

    Español: Ocho noches

    Francés: Huit nuits

    Portugués: Oito noites

    Italiano: Otto notti

    Catalán: Vuit nits

    Rumano: Opt nopți

    Inglés: Eight nights

    Alemán: Acht Nächte

    Sueco: Åtta nätter

... y 11 onzas.

    Latín: Undecim unciae

    Español: Once onzas

    Francés: Onze onces

    Portugués: Onze onças

    Italiano: Undici once

    Catalán: Onze unces

    Rumano: Unșpe uncii

    ¿Tienes curiosidad por algún otro número?

 RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota cambió de tema:

NORTE ==> 7                    SUR ==> 1/2

    Comentó que estos puntos cardinales estaban relacionados con estos números...

    Mire, profe.

    Lo del norte se dice septentrional. El septentrión son las siete estrellas de la osa menor, una de las cuales es la estrella polar, que está al norte.

    Lo del sur se dice meridional. El meridión es el mediodía (medio día), cuando el sol está al sur.

    (Pero desde la Patagonia ni se ve la estrella polar al norte ni se ve el sol al sur... En vez de septentrional y meridional sería mejor decir boreal y austral.)