1571. De todo corazón...

     Pepe Chapuza había dibujado una cardioide en su bloc de dibujo.

    Mire, profe. La cardioide se puede obtener...

    1. Como la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda alrededor de otra circunferencia fija del mismo tamaño. (Epicicloide.)

    2. Como la envolvente de los rayos reflejados, en el interior de una circunferencia fija, de los rayos emitidos desde un punto fijo de dicha circunferencia fija. (Catacáustica.)

    3. Como la envolvente de las circunferencias, con centro en una circunferencia fija, que pasan por un punto fijo de dicha circunferencia fija.

    Y de muchas otras formas.

    Obtén la ecuación de la cardioide.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trabajó con coordenadas polares.

    Profe, mire.

    Con la primera descripción de Pepe, si los diámetros de las circunferencias miden 1, podemos considerar el trapecio isósceles verde  (que puede degenerar en algún punto sin perjudicar el razonamiento) cuyos lados no paralelos miden 1/2 y cuyos lados paralelos miden 1 y  r = 1 − cos t . Esta es la ecuación  r(t) = 1 − cos t , donde  r  es el radio vector y  t  es el ángulo polar (entre 0 y 2π). El polo se encuentra en la cúspide de la cardioide.

    Nina también mostró con dibujos las otras dos descripciones de Pepe...

    Para terminar... ¿Quién quiere calcular el área encerrada por la cardioide y el perímetro (longitud del arco de la cardioide)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo los cálculos...

    Mire, profe. Como la cardioide es simétrica, el área será

2 · 1/2 · ʃ ₀^π r²(t) dt  =  ʃ ₀^π ( 1−cos t )² dt  =

=  ʃ ₀^π ( 1 − 2 cos t + cos²t ) dt  =  ʃ ₀^π ( 1 − 2 cos t + 1/2 + 1/2 · cos 2t) dt  =

=  ʃ ₀^π ( 3/2 − 2 cos t + 1/2 · cos 2t) dt  =  ( 3t/2 − 2 sen t + 1/4 · sen 2t ) /₀^π  =

=  3π/2

    Un bonito resultado para una curva con forma de corazón... Las tres áreas coloreadas con azules de distinta tonalidad son iguales:

    Para el perímetro tenemos la siguiente integral:

2 ʃ ₀^π √ ( r ²(t) + r' ²(t) ) dt  =  2 ʃ ₀^π √ ( r ²(t) + r' ²(t) ) dt  =

=  2 ʃ ₀^π √ ( 1 − 2 cos t + cos²t + sen²t ) dt  =  2 ʃ ₀^π √ ( 2 − 2 cos t ) dt  =

=  2 ʃ ₀^π 2 sen (t/2) dt  =  2·2·2·(−cos (t/2) /₀^π  =

=  8

    Que coincide con el perímetro de este cuadrado...