Propuse para el día siguiente un trabajo en común sobre las matemáticas de las telarañas... Y al día siguiente Pepe Chapuza empezó aportando ideas:
Profe, mire...
La telaraña de la araña de jardín (Araneus diadematus) está formada por radios y una espiral de seda. Esta se asemeja a la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas polares es r(θ) = aθ + b . ¡Es un polinomio de primer grado! La distancia entre dos vueltas sucesivas es constante. Se utilizó este tipo de espiral en los antiguos discos de vinilo...
La telaraña de la araña casera (Steatoda triangulosa) es más irregular y en ella podemos observar los segmentos entre radios en forma de catenaria, cuya ecuación es f(x) = a cosh(x/a) . Esta curva de seda se sujeta a sí misma por lo que invertida da lugar a un arco capaz de soportarse a sí mismo. Gaudí utilizó este tipo de arcos en su arquitectura.
No estaba mal para empezar con el trabajo. Seguid investigando...
SOLUCIÓN
Oigamos las aportaciones de Nina Guindilla...
Profe, mire. Algunas arañas tejen unas telarañas tupidas con diferente finalidad...
La araña de agua (Argyroneta aquatica) construye con seda una cámara bajo el agua para llenarla de aire para respirar. La burbuja encerrada en la cámara tiende a adoptar forma de elipsoide. La ecuación del elipsoide es x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 . Es una superficie con curvatura total positiva.
La araña de embudo (Hadronyche modesta) fabrica su trampa en forma de embudo similar a un hiperboloide hiperbólico de ecuación x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 . Es una superficie con curvatura total negativa. (No se debe confundir con el hiperboloide elíptico, de ecuación x²/a² − y²/b² − z²/c² = 1 , y que tiene curvatura total positiva.)
¿Alguna aportación más?
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota nos habló del cono y del cilindro. Dos superficies desarrollables con curvatura total nula...
Profe, mire.
La tarántula (Brachypelma smithi) excava una guarida cilíndrica en el suelo y la tapiza con seda entretejida. La ecuación del cilindro elíptico es x²/a² + y²/b² = 1 . (No se puede confundir con el cilindro hiperbólico ni con el cilindro parabólico.)
La boleadora (Mastophora extraordinaria) es mi favorita. Con una pata es capaz de imprimir un movimiento circulatorio a una hebra de seda de la que pende una pesada gota pegajosa en el extremo. La hebra genera un cono virtual en el aire. La ecuación del cono es x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0 .
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