1575. Infinitos, quebrados y mantisas.

    Profe, mire. Hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales en el intervalo [0, 1]. Racionales e irracionales están completamente mezclados... Quiero decir que entre dos racionales cualesquiera siempre hay un irracional y entre dos irracionales cualesquiera siempre hay un racional... Pero hay más irracionales que racionales. ¡Son dos infinitos diferentes!

    Esta afirmación de Pepe Chapuza había que explicarla...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla estaba en condiciones de explicarlo todo...

    Mire, profe. Vamos a probar que en el intervalo [0, 1] la cantidad de todos los racionales (infinito) es menor que la cantidad de todos los irracionales (también infinito). Es decir, son dos infinitos diferentes... Para ello vamos a ver que se pueden emparejar tales racionales con los números naturales, y diremos que ese infinito es numerable, mientras que no hay manera de emparejar los irracionales con los naturales, siempre quedan irracionales sin pareja, y diremos aquí que es un infinito no numerable..., un infinito mayor...

    Los compañeros estaban atentos...

    Empecemos con los racionales. Emparejar todos los racionales de [0, 1] con los naturales es lo mismo que establecer una sucesión de tales racionales. Hela aquí:

0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/8, ...

    A cada número racional de [0, 1] le corresponde una fracción irreducible cuyo denominador es positivo y cuyo numerador no es ni menor que cero ni mayor que el denominador. (Por comodidad llamaremos quebrados a estas fracciones.) La secuencia es evidente: primero van los enteros, luego va el medio, después los tercios, los cuartos, los quintos, los sextos... Llamemos a esta sucesión  A .

    Sigamos con los irracionales. Supongamos que los irracionales de [0, 1] también se pueden emparejar con los naturales, entonces habrá una sucesión  B  de todos ellos.

    Consideremos ahora la sucesión  C  definida así:  C(2n−1) = B(n) ;  C(2n) = A(n) . Esto es, en C se alternan los términos de  B  y de  A . (Irracional. racional, irracional, racional...) Todos los términos de  C  se pueden escribir como expresiones decimales con parte entera 0. (Para abreviar llamaremos mantisas a estas expresiones...)

C(1) = B(1) = 0,3550431...

C(2) = A(1) = 0.0000000...

C(3) = B(2) = 0,8466720...

C(4) = A(2) = 0,9999999...

C(5) = B(3) = 0,7712836...

    Me he inventado C(1), C(3) y C(5) lo cual es irrelevante... Los términos  C(2) = 0/1 = 0  y  C(4) = 1/1 = 1. Para C(6) habría dos posibilidades (dos mantisas que representan la misma cantidad):

C(6) = A(3) = 1/2 = 0,5000000...

C(6) = A(3) = 1/2 = 0.4999999...

    Elegimos la primera, 0,5000000... ¿Como continúa la sucesión  C ? Veamos...

    Hay infinitos quebrados que equivalen cada uno de ellos a dos mantisas: digamos una con período 0 y otra con período 9. Estos quebrados tienen denominadores de la forma 2^a·5^b (salvo si a=b=0 que corresponden a C(2) y C(4)). Para los términos C(2n) correspondientes vamos eligiendo las mantisas alternando el período 0 con el período 9. Así los siguientes casos serían 

C(12) = A(6) = 1/4 = 0,2499999... (período 9)

C(14) = A(7) = 3/4 = 0,7500000... (período 0)

C(16) = A(8) = 1/5 = 0,1999999... (período 9)

C(18) = A(9) = 2/5 = 0,4000000... (período 0)

    La cantidad de cifras del anteperíodo de estos quebrados es  máx(a,b) . Vamos a ver que si el denominador de  C(2n)  es  2^a·5^b  entonces  máx(a,b) < 2n . 

    Por lo pronto  máx(a,b) < 2^a·5^b  ya que si a = máx(a,b)  entonces  a < 2^a ≤ 2^a·5^b  y si b =  máx(a,b)  entonces  b < 2^b ≤ 2^a·5^b .

    Por otro lado, hay al menos un quebrado para cada denominador. Para cualquier denominador N tenemos al menos el quebrado 1/N. Así que si  A(n) = K/N , entonces  N≤n. Si  N = 2^a·5^b  entonces  2^a·5^b < 2n , por lo que la cantidad de cifras del anteperíodo de  C(2n) = K/N  será menor que 2n.

    Ahora volvemos a los ejemplos y consideremos la mantisa  M = 0,30698...  formada con el primer decimal de C(1), el segundo decimal de C(2), el tercer decimal de C(3) y así sucesivamente... Como para cada quebrado de la forma  K / (2^a·5^b) = C(2n)  el anteperíodo de su mantisa no incluye al decimal 2n-ésimo, entonces este decimal, que también lo es de M, está en la parte periódica, es decir, o es un 0 o es un 9. Así, M tiene infinitos ceros e infinitos nueves (porque fuimos alternando los períodos...). Y lo mismo le pasa a la mantisa de 1−M = 0,69301... (que será por tanto la única mantisa del número 1−M  al no tener ni período 0 ni período 9). 

    Pues bien. El número 1−M no está en la sucesión C porque difiere de C(1) en el primer decimal, de C(2) en el segundo decimal, de C(3) en el tercer decimal, y así sucesivamente. Además 1−M no puede ser racional porque la sucesión A. que es una subsucesión de C, recorre todos los quebrados. Por tanto 1−M es un irracional de [0, 1] sin pareja natural, que es lo que pretendíamos mostrar...

    ¿Puede alguien ilustrar con dibujos el razonamiento de Nina?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota era un buen ilustrador...

    Mire, profe, Intercalar en C los términos de A y de B me recuerda al hotel de Hilbert:

    Las idea de las mantisas M y 1−M se denominan método de la diagonal de Cantor:

    Al obtener 1−M se produce esta mutación de dígitos decimales (sustituimos cada decimal D por 9−D) como se aprecia en este "reloj decimal":

    El cardinal (cantidad) de los números racionales se denomina álef sub cero y el cardinal de los números irracionales se denomina bet sub uno. (Álef y bet son los nombres de las dos primeras letras de alfabeto hebreo.)

    ¡Hay dos infinitos diferentes!

    En realidad hay infinitos infinitos diferentes... Pero lo asombroso es que la mente finita del hombre empezase a entender el infinito...