El reto del fin de semana consistía en el siguiente problema...
Había que calcular el área del triángulo ABC...
Los datos eran los siguientes...
Los puntos A, B y C estaban en los ejes "x", "y" y "z" respectivamente. (Por supuesto, los ejes eran perpendiculares entre sí...)
El punto O estaba en los tres ejes (o sea, que era el origen de coordenadas).
Las áreas de los triángulos OAB, OAC y OBC eran 16m
2, 12m
2 y 48m
2 respectivamente...
Pepe Chapuzas exclamó:
¡Está "chupao"! Con el teorema de De Gua...
Los compañeros pensaron que Pepe estaba... de gua...sa... pero no...
Investiga lo que dice el teorema de De Gua y resuelve el reto.
SOLUCIÓN
Nina Guindilla encontró el teorema de De Gua...
Profe, mire. Según el teorema de De Gua,
[ABC]2 = [OAB]2 + [OAC]2 + [OBC]2.
(los corchetes indican las áreas de los triángulos).
¡Claro! Así es fácil...
[ABC]2 = 162 + 122 + 482 = 2704
[ABC] = √2704 = 52
Se le olvidó a Nina decir que eran metros cuadrados... y es que no se quedó del todo satisfecha... Nina tenía que demostrar el teorema de De Gua...
Profe, mire. Determinemos los puntos por sus coordenadas:
O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c)
y supongamos que a, b, c > 0.
Las áreas de los triángulos miden
[OAB] = ab/2
[OAC] = ac/2
[OBC] = bc/2
El plano que pasa por A, B y C es
bcx + acy + abz = abc
La distancia de O a este plano es
abc / √((bc)2+(ac)2+(ab)2)
El volumen del tetraedro OABC mide
abc/6 = [ABC] · abc / √((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 3
De donde
[ABC] = √((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 2
Por tanto
[ABC]2 = ((bc)2+(ac)2+(ab)2) / 4 = (bc/2)2+(ac/2)2+(ab/2)2 = [OBC]2 + [OAC]2 + [OAB]2
Calcula el volumen del tetraedro OABC.
RESOLUCIÓN
La tarea era fácil. Yoyó Peluso no tuvo ninguna dificultad...
Mire, profe.
[OAB]·[OAC]·[OBC] = ab/2 · ac/2 · bc/2 = (abc)2/8
abc = √([OAB]·[OAC]·[OBC]) · √8
y el volumen del tetraedro OABC medirá
abc/6 = √(16·12·48) · √8 / 6 = √9216 · √2 / 3 = 96 · √2 / 3 = 32√2 = 45,254834 m3.
