1681. El plano descorazonado...

    Pepe Chapuza estaba calculando el dominio de una función real de variable real:

F(x) = ln (x−3) + ln (1−x)

    Profe, mire. Solo existen logaritmos de números positivos, por lo que ha de cumplirse

x−3 > 0   y   1−x > 0

x > 3   y   x < 1

lo cual constituye una contradicción, esto es, Dom (F) = ∅. ¡Pero una función con dominio vacío no es una función! Sin embargo, si aplico las propiedades de los logaritmos tenemos que

F(x) = ln ((x−3)(1−x))

por tanto

(x−3)(1−x) > 0

1 < x < 3

por ello, Dom (F) = ]1, 3[.

    ¿De dónde ha salido este dominio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos lo va a explicar...

    Profe, mire. La propiedad de ln (AB) = ln (A) + ln (B) solo tiene sentido si los dos miembros de la igualdad existen. Y esto no ocurre con el ejemplo de Pepe... Lo que sí ocurre es

ln ((x−3)(1−x)) = ln ((3−x)(x−1)) = ln (3−x) +  ln (x−1)

    Nina propuso entonces calcular el dominio de esta función real de dos variables reales...

G(x, y) = ln ((x² + y² − 1)³ − x² y³)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota planteó la inecuación H(x, y) = (x² + y² − 1)³ − x² y³ > 0.

    Mire, profe. Para resolver la inecuación voy a resolver antes la ecuación

H(x, y) = 0

(x² + y² − 1)³ = x² y³ 

x² + y² − 1 = ∛(x²) y 

 y² − ∛(x²) y + x² − 1 = 0

y = ∛(x²)/2 ± √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )

    Las soluciones de la ecuación son los puntos de las gráficas de las funciones reales de variable real

P(x) = ∛(x²)/2 + √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )    y    Q(x) = ∛(x²)/2 − √ ( ∛(x⁴)/4 + 1 − x² )

    Solo existen raíces cuadradas de números no negativos, así que ha de cumplirse

R(x) = ∛(x⁴)/4 + 1 − x²  ≥ 0

∛(x⁴) ≥ 4x² − 4

x⁴ ≥ 64x⁶ − 192x⁴ + 192x² − 64

 64x⁶ − 193x⁴ + 192x² − 64 ≤ 0

    Hacemos el cambio de variable z = x² y planteamos la ecuación

S(z) = 64z³ − 193z² + 192z − 64 = 0

    El discriminante de una ecuación cúbica az³ + bz² + cz + d = 0 es

Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²

    En nuestro caso

Δ = 18·64·193·192·64 − 4·193³·64 + 193²·192² − 4·64·192³ − 27·64²·64² = −110848 < 0

por lo que el polinomio S solo se anula para un valor Z > 0 (si z  ≤  0, entonces S(z) < 0), y deshaciendo el cambio de variable, el polinomio R solo se anula en ± √Z. Como R(0) = 1 > 0 y R(−∞) = R(∞) = −∞ < 0, el dominio de P y Q es un intervalo: el entorno cerrado de cento 0 y radio √Z, esto es, Dom (P) = Dom (Q) = [−√Z, √Z]. Como P y Q son funciones pares, voy a confeccionar una tabla de valores aproximados con x ≥ 0 y a esbozar sendas gráficas...

x	0	.1	.2	.3	.4	.5	.6	.7	.8	.9	1	1.1	1.2
P(x)	1	1.11	1.17	1.2	1.23	1.24	1.23	1.21	1.17	1.1	1	.8	∄
Q(x)	−1	−.89	−.82	−.76	−.68	−.61	−.52	−.42	−.31	−.17	0	.26	∄

    Como H(0, 0) = −1 < 0 y H(2, 0) = 27 > 0, el dominio de G sería el plano descorazonado...

    Aunque no se mencione, se ha tenido en cuenta la continuidad de las funciones...