1682. El determinante de Vandermonde

     Profe, mire. Sea A_n una matriz cuadrada de orden n (con n filas y n columnas). Si cada fila de  A_n está formada por n términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cuánto vale |A_n|, (el determinante de A_n )?

    Pepe Chapuza ha planteado este problema... ¡Resuélvelo!

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Puedo escribir los elementos de la matriz A_n así:  a_ij = a_i1 r_i^j−1 .

    Todos los elementos de la fila i-ésima están multiplicados por a_i1 por lo que

|A_n|=(Π_1≤i≤n a_i1)|B_n|

donde B_n es la matriz de Vandermonde de orden n de elementos  b_ij = r_i^j−1 por lo que

|A_n|=(Π_1≤i≤n a_i1)(Π_1≤p<q≤n(r_q-r_p))

    Profe, mire. Si coinciden dos razones el determinante es nulo...

    Nina Guindilla encontró la solución utilizando la fórmula de Vandermonde.  ¿Has demostrado alguna vez esta fórmula: |B_n|= Π_1≤p<q≤n(r_q-r_p)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota procedió con el método de inducción...

    Profe, mire. Para n=1 la fórmula es trivial |B₁|=1 (el elemento neutro de la multiplicación).

    Si suponemos la fórmula cierta para el caso n, veamos qué pasa para el caso n+1 :

    Hemos restado a cada columna la anterior multiplicada por r₁, luego hemos desarrollado por la primera fila y después hemos extraído factores comunes. Ahora aplico la hipótesis de inducción

|B_n+1| = (Π_2≤i≤n+1(r_i-r₁))(Π_{2≤p<q≤n+1}(r_q-r_p)) = Π_{1≤p<q≤n+1}(r_q-r_p)