1679. Ecuaciones de cambio de base...

    Mire, profe. El par de vectores A = { u=(3, 5), v=(5, 9) } es una base del plano vectorial porque no son ni vectores nulos ni paralelos entre sí (5/3≠9/5). (Se podría decir que la matriz cuadrada de orden dos formada por las cuatro componentes no puede ser singular...) Del par de vectores B = { m=(7, 1), n=(11, 13) } podemos decir exactamente lo mismo (11/7≠13/1): se trata de otra base... Cualquier vector w se puede poner de forma única como combinación lineal de A ( w = xu + yv ) y de B ( w = pm + qn ). ¿Qué relación existe entre las componentes (x, y)_A y las componentes (p, q)_B?

    Pepe Chapuza estaba preguntando por las ecuaciones de cambio de base... Conocidas las componentes de w en B, ¿cómo se pueden calcular las componentes de w en A? 

    Pepe acompañó su enunciado con un dibujo ilustrativo que no se correspondía fidedignamente a los datos numéricos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trabajó con matrices...

    Mire, profe. El mismo vector w se puede escribir como producto matricial de dos formas distintas: con A y con B.

    Por tanto

    Así pues, las ecuaciones son 

x = 29m + 17n

y = −16m − 8n

    ¿Cómo sería en el espacio vectorial?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota intervino...

    Profe, mire. En tres dimensiones las bases tienen tres vectores y los vectores tienen tres componentes. Los vectores de una base no pueden ser ni nulos ni coplanarios, esto es, el producto mixto de ellos no puede valer cero, esto es, la matriz cuadrada de orden tres determinada por las nueve componentes no puede ser singular... Por lo demás el procedimiento es idéntico...