Les decía a mis alumnos que no se dejaran engañar por las apariencias... Y expuse el ejemplo de unas sucesiones aparentemente sencillas... que sin embargo daban lugar a uno de los conjuntos más complicados de las matemáticas...
Las sucesiones, de números complejos, eran recurrentes: vn+1 = vn2 + v1. Para cada valor inicial v1 se tenía una sucesión v diferente cuyo comportamiento dependía drásticamente de ese primer término suyo: según su ubicación, la sensible sucesión podía resultar convergente, divergente, oscilante o errante... Esos números complejos primigenios v1 eran semillas de futuro incierto: sus destinos eran desconocidos hasta que por fin germinaban y crecían... Por culpa del efecto mariposa, en una región fronteriza un par de semillas próximas podían engendrar dos sucesiones radicalmente dispares.
Antes de la era cibernética, los matemáticos que investigaron el asunto no podían sino vislumbrar las diversas áreas, cual islas e islotes, donde se producían los distintos tipos de sucesiones en medio de un océano de números reales e imaginarios... Ahora se programan computadoras para que funcionen como microscopios y así poder explorar los intrincados entresijos de este archipiélago desvelando su infinita riqueza de formas...
En internet se puede acceder a numerosas páginas donde se exhiben asombrosas imágenes: estamos hablando del conjunto de Mandelbrot... Pepe Chapuza lo sobrevoló y se zambulló en él... y quedó fascinado...
Las sucesiones, de números complejos, eran recurrentes: vn+1 = vn2 + v1. Para cada valor inicial v1 se tenía una sucesión v diferente cuyo comportamiento dependía drásticamente de ese primer término suyo: según su ubicación, la sensible sucesión podía resultar convergente, divergente, oscilante o errante... Esos números complejos primigenios v1 eran semillas de futuro incierto: sus destinos eran desconocidos hasta que por fin germinaban y crecían... Por culpa del efecto mariposa, en una región fronteriza un par de semillas próximas podían engendrar dos sucesiones radicalmente dispares.
Antes de la era cibernética, los matemáticos que investigaron el asunto no podían sino vislumbrar las diversas áreas, cual islas e islotes, donde se producían los distintos tipos de sucesiones en medio de un océano de números reales e imaginarios... Ahora se programan computadoras para que funcionen como microscopios y así poder explorar los intrincados entresijos de este archipiélago desvelando su infinita riqueza de formas...
En internet se puede acceder a numerosas páginas donde se exhiben asombrosas imágenes: estamos hablando del conjunto de Mandelbrot... Pepe Chapuza lo sobrevoló y se zambulló en él... y quedó fascinado...
Profe, mire. A simple vista, este conjunto parece un corazón verrugoso, pero esas verrugas, a su vez, están llenas de verruguillas verrugosas... Y por doquier emergen copias distorsionadas en miniatura del conjunto entero: una autorréplica en donde las partes se asemejan al todo...
Haciendo zoom se descubren estructuras fractales que parecen aquí elefantes, ahí dragones, allá hipocampos, ahora sarmientos, luego zarcillos, después coliflores..., en un abigarramiento caótico y a la vez ordenado de espirales hipnóticas entre cuyas volutas y arabescos surgen corazoncitos en todas las escalas de ampliación...
El mayor corazón y la mayor verruga parecen estar confinados respectivamente en una cardioide y una circunferencia perfectas... ¿Lo son realmente?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla recordó que si z es una sucesión recurrente con zn+1 = Z(zn) donde Z es una función compleja de variable compleja y si z es convergente a un punto z∞ en zona de estabilidad, se tiene que además de ser z∞ = Z(z∞) es |Z'(z∞)| < 1. En las sucesiones v sería en tal caso v∞ = V(v∞) = v∞2 + v1 y V'(v∞) = 2v∞.
Mire, profe. En el interior del corazón máximo se originan sucesiones convergentes. Por ejemplo, en la sucesión 0, 0, 0, 0, ... se tiene que 0 = V(0) y que |V'(0)| = 0 < 1. Sin embargo, en la sucesión –2, 2, 2, 2, ... que no está en el corazón máximo se tiene que 2 = V(2), pero ahora |V'(2)| = 4 > 1. El interior del corazón máximo es zona de estabilidad de las v y en su borde se cumple que |V'(v∞)| = 1, es decir, 2v∞ = eit, y despejando v1 = v∞ – v∞2 = eti/2 – e2ti/4 que es una epicicloide de círculos de radio 1/4: esta es la cardioide buscada...
Ahora le tocaba el turno a la verruga máxima...
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota navegó por el océano complejo...
Profe, mire. En el interior del gran redondel (no lo llamaremos aún circunferencia) nacen sucesiones oscilantes con dos puntos de acumulación: uno dentro del gran redondel y otro dentro de la gran cardioide. Por ejemplo la sucesión cíclica –1, 0, –1, 0, –1, 0, ...
Sean w las subsucesiones wn = v2n–1. (En el ejemplo anterior sería –1, –1, –1, ...) Se tiene que las semillas coinciden: w1 = v1. Y por supuesto, las w son sucesiones recurrentes...
wn+1 = v2n+1 = v2n2 + v1 = (v2n–12 + v1)2 + v1 = (wn2 + w1)2 + w1 = wn4 + 2w1wn2 + w12 + w1
y son convergentes a los puntos de acumulación que caen dentro del gran redondel, por lo que w∞ = W(w∞) y además |W(w∞)| < 1 porque es zona de estabilidad de las w...
w∞4 + 2w1w∞2 – w∞ + w12 + w1 = 0
W'(w∞) = 4w∞3 + 4w1w∞
En el ejemplo de antes se tiene que –1 = W(–1) y que |W'(–1)|= 0 < 1, pero si w1 no hubiera estado dentro del gran redondel sino dentro de la gran cardioide (por ejemplo 0, 0, 0, ..., donde se tiene que 0 = W(0) y también que |W'(0)|= 0 < 1) las subsucesiones w convergerían a los mismos límites que las propias sucesiones v, esto es, w∞ = v∞, y así también se cumpliría que w∞2 – w∞ + w1 = 0.
Para deshacernos de la gran cardioide y quedarnos solo con el gran redondel divido
(w∞4 + 2w1w∞2 – w∞ + w12 + w1) / (w∞2 – w∞ + w1) = w∞2 + w∞ + w1 + 1 = 0
y así
4w∞3 + 4w1w∞ = 4w∞(w∞2 + w1) = 4w∞(– w∞ – 1) = 4(–w∞2 – w∞) = 4(w1 + 1)
En el propio redondel |4(w1 + 1)| = 1, de donde 4(w1 + 1) = eti, y por tanto w1 = eti/4 – 1, que es la circunferencia de centro –1 y radio 1/4.
Invito al lector que se asome al conjunto de Mandelbrot: una de las maravillas de las Matemáticas...
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