1663. Con parámetro

    Había escrito en la pizarra este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas... Se ignoraban dos coeficientes... pero se sabía que eran iguales ambos... Había que resolver el sistema en función del parámetro λ. Pepe Chapuza empezó con la discusión...

    Mire, profe. Si M es la matriz de coeficientes y A es la matriz ampliada se tiene que 

det (M) = 24 + 8λ² + 30 − 6λ − 20λ − 48 = 8λ² − 26λ + 6

    Las raíces de este polinomio son 

λ = 13/8 ± √(169−48)/8 = 13/8 ± √121/8 = 13/8 ± 11/8

    Se distinguen tres casos según el valor del parámetro λ:

    Si λ = 3, por un lado, rg (M) = 2 porque det (M) = 0 y hay menores de orden 2 no nulos...

por otro lado,  rg (A) = 2 porque este menor de A es nulo...

    Así que, por el teorema de Rouché, el sistema es compatible indeterminado...

    Si  λ = 1/4, igual que antes rg (A) = 2 pero ahora hay un menor de orden 3 de A no nulo...

    Así que podemos afirmar que el sistema es incompatible...

    Finalmente. si λ ≠ 3 y λ ≠ 1/4 el sistema es compatible determinado pues rg (M) = rg (A) = 3.

    Bien... Ahora toca resolverlo.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla resolvió el sistema para el primer caso por el método de doble reducción...

    Mire, profe. Voy a prescindir de la primera ecuación y voy a parametrizar x = μ.

    Restando la segunda ecuación menos el doble de la primera nos queda 4y = −1+3μ, y restando la segunda ecuación menos el cuádruple de la primera nos queda −4z = −3+9μ. Por lo tanto las soluciones son x = μ, y = −1/4 + 3μ/4, z = 3/4 − 9μ/4.

    Quedaba por resolver el último caso...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota aplicó la regla de Cramer...

    Profe, mire...