1661. La potencia matricial

     Mire, profe. Cuando nos enseñó la multiplicación matricial pensé que era una operación caprichosa que ni siquiera era conmutativa: ¡el orden de los factores sí alteraba el producto! Y cuando vimos la potencia matricial aprendimos que era una "fábrica" de matrices conmutables porque A^m·Aⁿ = A^m+n = A^n+m = Aⁿ·A^m: ¡dos potencias de una matriz son conmutables! Además, me encantan las fórmulas de las potencias enésimas... ya que proporcionan las infinitas potencias de una matriz...

    Y a mí me encantan los comentarios de Pepe Chapuza. Y hablando de la potencia enésima... propuse demostrar inductivamente que

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla comenzó comprobando que A⁰ = I.

    Profe, mire: (2⁰+2) : 3 = 1; (2⁰−1) : 3 = 0; (2¹−2) : 3 = 0; (2¹+1) : 3 = 1.

    Si suponemos que la fórmula es correcta para Aⁿ calculemos Aⁿ⁺¹...

    Además, las fórmulas sirven para calcular la inversa de A y, de modo similar, se podría demostrar que sirve para las potencias de A⁻¹.

    Perfecto... Queda para el lector comprobar estas últimas afirmaciones de Nina...
    Demostrar las fórmulas para la potencia enésima inductivamente es fácil... pero... ¿cómo se pueden obtener dichas fórmulas? 

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota utilizó herramientas sofisticadas...

    Mire, profe. Voy a diagonalizar la matriz A = L·D·L⁻¹ donde L es la matriz de los autovectores (columnas) de A, y D es la matriz de los autovalores (diagonal) de A. Entonces

Aⁿ =

= A·A·A·...·A·A·A = 

= L·D·L⁻¹·L·D·L⁻¹·L·...·L⁻¹·L·D·L⁻¹·L·D·L⁻¹ =

= L·D·I·D·I·...·I·D·I·D·L⁻¹ =

= L·D·D·...·D·D·Lⁿ⁻¹ =

= L·Dⁿ·L⁻¹

    Los autovalores son las soluciones de la ecuación  | A − λ I  | = 0 .

 

    Y los autovectores son fáciles de calcular en una matriz de dimensión 2x2...

    Por tanto