1658. Empaques de entornos

     Recordé la siguiente definición: dados un punto C y un número positivo R, el entorno de centro C y radio R es el conjunto de puntos que distan de C menos de R... Y propuse la siguiente cuestión: ¿de qué manera hay que empacar entornos mutuamente disjuntos y congruentes para cubrir más espacio? Entonces Pepe Chapuza tomó la palabra y matizó... 

    Profe, eso dependerá de la dimensión del espacio... 

    Pepe tenía razón. ¿Y tú qué sabes del tema?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla analizó la situación en dimensiones pequeñas... 

    Profe, mire. En dimensiones 1, 2 y 3 se cubren longitudes, superficies y volúmenes respectivamente. Se denomina densidad del empaque a un límite de una razón entre una parte y un todo: la fracción de la parte cubierta cuando el todo tiende al espacio entero... Un punto que conecta dos entornos se llama ósculo. 

    En 1D los entornos son intervalos y la disposición óptima es obvia...

    Su densidad por tanto es 1 y cada intervalo admite 2 ósculos.

    En 2D los entornos son discos... Intuitivamente, el empaque con mayor densidad parece ser este...

    Pero en demostrarse que lo era se tardó siglos... Cada disco admite 6 ósculos. La densidad se calcula fácilmente... Como los hexágonos regulares alicatan el plano solo hay que dividir el área de un círculo entre la de su hexágono regular circunscrito: π/√12.

    En 3D los entornos son bolas. El empaque más denso se conoció como conjetura de Kepler y solo fue demostrada con ayuda de computadoras...

    Cada bola admite 12 ósculos. La densidad también es fácil de calcular... Como el rombododecaedro adoquina el espacio tridimensional, solo hay que dividir el volumen de una esfera entre el de su rombododecaedro circunscrito: π/√18.

    ¿Qué ocurre en dimensiones mayores? 

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. En dimensiones mayores que 3 los entornos son difíciles de imaginar... 

    En 4D un entorno puede tener hasta 24 ósculos pero se ignora el empaque más denso: la mayor densidad conseguida de momento es π²/16. En 5D hay incertidumbre hasta con la cantidad de ósculos posibles para un entorno... 

    Se podría pensar que cuantas más dimensiones hay en juego tanto más difícil es la cuestión, pero no..., sorprendentemente se ha podido demostrar (sin computadoras) que en 8D el empaque óptimo tiene densidad π⁴/384 y entornos con 240 ósculos... y en 24D el empaque óptimo tiene densidad π¹²/12! y entornos con 196560 ósculos...

    Agradecimos a Yoyó Gaviota tan interesante información...