1657. Cambio de centro...

    Mire, profe. Tengo que cambiar de centro...

    ¡Qué susto! Pensábamos que Pepe Chapuza se mudaba...

    Necesito que el siguiente polinomio centrado en x = 2 

(x−2)³ + 3(x−2)² − 5(x−2) + 10

quede centrado en x = −2.

    No sabíamos por qué necesitaba ese cambio de centro, pero si alguien le echa un cable...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo y deshizo un cambio de variable: x = y−2, y = x+2.

    Profe, mire. ¡Centrémonos!

(x−2)³ + 3(x−2)² − 5(x−2) + 10 =

= (y−2−2)3 + 3(y−2−2)2 − 5(y−2−2) + 10 =

= (y−4)³ + 3(y−4)² − 5(y−4) + 10 =

= y³ − 12y² + 48y − 64 + 3y² − 24y + 48 − 5y + 20 + 10 =

= y³ − 9y² + 19y + 14 =

= (x+2)³ − 9(x+2)² + 19(x+2) + 14

    ¿Algún cable más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota recurrió al polinomio de Taylor...

    Profe, mire. Voy a hallar las primeras derivadas del polinomio...

P(x) = (x−2)³ + 3(x−2)² − 5(x−2) + 10    →    P(−2) = 14

P'(x) = 3(x−2)² + 6(x−2) − 5    →    P'(−2) = 19

P''(x) = 6(x−2) + 6    →    P''(−2) / 2 = −18 / 2 = −9

P'''(x) = 6    →    P'''(−2) / 3! = 6 / 6 = 1

que son los coeficientes que obtuvo Nina...