1637. Tres planos en el espacio...

     Le había tocado a Pepe Chapuza dar la clase de la posición relativa de dos planos:

    Mire, profe. Es muy fácil saber cómo se encuentran dos planos en el espacio a partir de sus ecuaciones generales... Ambas ecuaciones forman un sistema que se puede escribir en forma matricial AX = B, donde A es la matriz (2x3) de coeficientes, X la matriz (3x1) de coordenadas y B la matriz (2x1) de términos independientes... Si A&B es la matriz (2x4) formada por las columnas de A y de B (matriz ampliada), tenemos tres posibilidades... (Vamos a utilizar el teorema de Rouché...)

    a) Si rg(A) = rg(A&B) = 1, el sistema es compatible con indeterminación de grado 2: los dos planos son coincidentes, es decir, tenemos dos ecuaciones del mismo plano.

    b) Si rg(A) = 1 y rg(A&B) = 2, el sistema es incompatible: los dos planos son paralelos y no tienen ningún punto en común.

    c) Si rg(A) = rg(A&B) = 2, el sistema es compatible con indeterminación de grado 1: los dos planos son secantes y su intersección es una recta.

    Podemos hacer una tabla:

    Los rangos de A y de A&B se calculan a simple vista: cuando el rango es 1 las filas son proporcionales... Si rg(A)=1, los vectores normales de los planos son paralelos; y si rg(A&B)=1, las ecuaciones de los planos son equivalentes...

    Estamos en condiciones para preparar la siguiente clase: la posición relativa de tres planos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla empezó la clase:

    Profe, mire. Ahora las tres ecuaciones forman un sistema cuadrado AX = B, donde las matrices A, X y B son de dimensiones 3x3, 3x1 y 3x1, respectivamente. Por tanto la dimensión de A&B es 3x4... El caso es que hay ocho posiciones relativas de tres planos en el espacio pero solo hay cinco posibilidades con los rangos de A y A&B ya que la diferencia entre estos rangos es 0 o 1... Para distinguir todos los casos hay que recurrir a la proporcionalidad de las filas (que según Pepe se ve a simple vista) y es como si estudiáramos la posición de los planos por parejas. En la siguiente tabla se indica con un asterisco la ausencia de proporcionalidad de filas:

    La siguiente clase es de la posición relativa de dos rectas en el espacio... ¿Quién la prepara?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio la clase:

    Mire, profe. Si partimos de las ecuaciones paramétricas de las rectas tenemos un sistema. Podemos eliminar las coordenadas mediante igualación y nos queda AΛ=B, donde A es la matriz (3x2) de coeficientes, Λ es la matriz (2x1) de parámetros y B es la matriz (3x1) de términos independientes. A&B es de dimensión 3x3... Tenemos cuatro casos como se observa en la siguiente tabla:

    Ahora, rg(A)=1 indica que los vectores directores de las rectas son paralelos...

    Remarqué el hecho de que en la geometría espacio había una posibilidad que no ocurría en la geometría del plano, ¿verdad?