1638. Inversiones arriesgadas...

     Se estaba discutiendo sobre la naturaleza de 1/0, esto es, el inverso de cero. Unos afirmaban que era infinito y otros que era una indeterminación... Pepe Chapuza pensó en los límites... y se extralimitó...

    Mire, profe. Todo depende de cómo me acerque a 0... Si me acerco por la derecha el resultado es +∞, pero si lo hago por la izquierda entonces nos sale −∞. Pero también puedo acercarme de una forma más divertida: {+0,1; −0,01; +0,001; −0,0001; ...} y entonces la cosa se complica... Y si estamos en el plano complejo, nos podemos acercar a 0 por arriba, por abajo... y hasta en espiral, jugando al despiste...

    Curiosamente, en el plano complejo extendido el resultado es menos complejo: 1/0 = ∞. Aquí. el inverso de cero es infinito (sin signo)... Así que el plano complejo extendido es el "terreno" ideal para "invertir".

    Recordé que el plano complejo extendido consistía en añadir ∞ al conjunto de números complejos... No olvidemos que 1/∞ = 0..., o, como diría Pepe..., el inverso de infinito es cero.

    Investiga cómo se invierten las rectas en el plano complejo extendido...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla distinguió dos casos según la recta pasara o no por 0... Trabajó en forma trigonométrica: z = m cis θ, 1/z = 1/m cis −θ... Y utilizó la variable real ω ∈ (−π/2, π/2]...

    Profe, mire. En el plano complejo extendido todas las rectas pasan por el ∞, así que sus inversas pasan todas por el 0.

    a) Si la recta r con ángulo θ pasa por 0 será de la forma r ≡ {tgω cis θ}, por lo que al invertir nos quedaría 1/r ≡ {cotgω cis −θ} ≡ r̄. La inversa de la recta es su recta conjugada. El eje real y el eje imaginario se invierten es sí mismos...

    b) Si r no pasa por 0 y su punto de menor módulo es m cis θ, será r ≡ {m·secω cis θ+ω}, por lo que al invertir tenemos 1/r ≡ {1/m·cosω cis −θ−ω}, que es una circunferencia que pasa por 0. El diámetro de esta circunferencia es 1/m.

    Hay que advertir que tg(π/2) = sec(π/2) = ∞. No olvidemos el "terreno" donde estamos "invirtiendo"...

    Investiga ahora cómo se invierten las circunferencias...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota distinguió también dos casos...

    Mire, profe. La circunferencia c puede pasar o no por 0...

    a) Si c pasa por 0 y su punto de mayor módulo es M cis θ, será c ≡ {M·cosω cis θ+ω}, por lo que al invertir sale 1/c ≡ {1/M·secω cis −θ−ω}, que es una recta que dista 1/M de 0. Es el caso recíproco del apartado b) de Nina...

    b) Si c no pasa por 0 y si m cis θ y M cis θ son los puntos de menor y mayor módulo de c (si 0 es el centro y n es el radio de c tomamos m = −n, M = n y θ = 0), entonces para un punto z que recorre c se tiene que (M cis θ − z) / (m cis θ − z) = tgω cis π/2. Así, para los inversos...

(1/(M cis θ) − 1/z) / (1/(m cis θ) − 1/z) =

=  (z − M cis θ) / (z − m cis θ) · (m cis θ) / (M cis θ) =

= m/M·tgω cis π/2

por tanto, 1/c es otra circunferencia que tampoco pasa por 0 y cuyos puntos de menor y mayor módulo son 1/M cis −θ y 1/m cis −θ, respectivamente. La circunferencia unidad se invierte en sí misma y también las circunferencias con centro real si m·M = 1.

    Se deja al lector que compruebe los lugares geométricos...