1635. La dimensión fractal

     Profe, mire. La dimensión está relacionada con los exponentes... Me explico... Un cuadrado es de dimensión 2 y un cubo es de dimensión 3. Por eso en estas potencias los exponentes se leen así: al cuadrado y al cubo.

    Visto de otra manera, las dimensiones son logaritmos: en un cuadrado D = log₃ 9 = 2 y en un cubo D = log₃ 27 = 3. En un segmento sería D = log₃ 3 = 1 y en un punto D = log₃ 1 = 0.

    Mire cómo se obtiene el conjunto de Cantor... Dividimos un segmento en tres tercios, borramos el tercio central y quedan dos segmentitos... Dividimos ambos segmentos en tres tercios, borramos sendos tercios centrales y quedan cuatro segmentos... Y repetimos el proceso infinitas veces...

    ¿Se da cuenta? La dimensión del conjunto de Cantor sería D = log₃ 2 = 0,6309.

    ¡Pepe Chapuza había calculado una dimensión fractal! ¿Quién busca otro fractal y calcula su dimensión?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla nos mostró el fractal de Vicsek:

    Profe, mire. Dividimos un cuadrado en nueve novenos, suprimimos cuatro y quedan cinco cuadrados. Y repetimos el proceso indefinidamente. Por cierto, se puede suprimir los cuatro cuadrados de dos maneras diferentes para obtener el fractal de Vicsek:

    En cualquier caso, su dimensión fractal es D = log₃ 5 = 1,4650.

    ¿Algún fractal más?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota explicó la esponja de Menger. 

    Mire, profe. Si en un cubo de Rubik suprimimos 7 cubitos (el cubito interior y los cubitos centrales de las 6 caras) y repetimos el proceso con los 20 cubitos que quedan, y así indefinidamente, conseguimos un fractal llamado esponja de Menger. Su dimensión fractal es D = log₃ 20 = 2,7268.

    Profe, mire. No es fácil visualizar una esponja de Menger, pero sus caras (bases y lados) son alfombras de Sierpiński: dividimos un cuadrado en nueve cuadraditos, suprimimos el central y repetimos el proceso con los que quedan indefinidamente...

    La dimensión fractal de la alfombra de Sierpiński es D = log₃ 8 = 1,8928.