1634. De cuarto grado

     Cuando entré en clase me encontré en la pizarra dos polinomios de cuarto grado:

 

P(x) = 2x⁴+7x³+x²−9x+C

Q(x) = 2x⁴+2x³−9x²−4x+C

 

    El autor, evidentemente, era Pepe Chapuza...

    Profe, mire. Hay que encontrar las raíces de estos dos polinomios... Las únicas pistas que doy es que dos de esas raíces son comunes y que la constante C no es 0.

    Dejé de lado lo que tenía programado porque el problema de Pepe era más interesante...

SOLUCIÓN

    No tardó Nina Guindilla en encontrar las raíces comunes...

    Profe, mire. Las raíces comunes de P(x) y Q(x) son también raíces de

 

P(x)−Q(x) = 5x³+10x²−5x = 5x(x²+2x−1)

    Como el término independiente C≠0, entonces x=0 no es una raíz ni de P(x) ni de Q(x), y las raíces comunes serán x = −1 ± √2.

    Ahora había que hallar las raíces no comunes...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota ya lo tenía fácil...

    Profe, mire. El polinomio P(x) es divisible entre x²+2x−1, así que divido... 

    Así tenemos que C=3 y que sus raíces no comunes son x = −3/4 ± √33/4.

    Yoyó también calculó las raíces de Q(x) que faltaban... ¿Quiere calcularlas también el lector?