Mire, profe. Estamos acostumbrados a ver los paraboloides de revolución (las antenas parabólicas). Pero hay otros paraboloides: los paraboloides elípticos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, elipses y puntos; y los paraboloides hiperbólicos, entre cuyas secciones planas hay parábolas, hipérbolas... y ¡pares de rectas secantes!
Pepe Chapuza nos dibujó una especie de "silla de montar". Lo que venía a decir Pepe era que los paraboloides hiperbólicos eran superficies doblemente regladas. ¿Realmente esto era así?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla conocía bien la ecuación reducida de la "silla de montar".
x²/a² − y²/b² = z
Mire, profe. La parábola (au, 0, u²), u ∈ ℝ, está en el paraboloide ya que (au)²/a² − 0²/b² = u² .
Para cada punto de esta parábola, la recta (au+av, bv, u²+2uv), v ∈ ℝ, está contenida en el paraboloide ya que (au+av)²/a² − (bv)²/b² = u² + v² + 2uv − v² = u² + 2uv . Lo mismo se puede decir de la recta (au+aw, −bw, u²+2uw), w ∈ ℝ, con lo que efectivamente la "silla de montar" es doblemente reglada.
Solo faltaba comprobar que estas rectas generaban todo el paraboloide...
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota sabía que había que calcular para cada punto P(X, Y, Z) del paraboloide los parámetros u, v y w.
Profe, mire.
De la segunda coordenada tenemos v = Y/b y w = −Y/b .
De la primera coordenada tenemos u = X/a−v = X/a−Y/b o u = X/a−w = X/a+Y/b .
Finalmente comprobamos la tercera coordenada (por si las moscas)...
u² + 2uv = X²/a² + Y²/b² − 2XY/a/b + 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z
u² + 2uw = X²/a² + Y²/b² + 2XY/a/b − 2XY/a/b −2Y²/b² = X²/a² − Y²/b² = Z
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