1616. Los repunits

    Mire, profe. Un repunit es un número formado por unos. Por ejemplo, 11111111 es un repunit... Es el octavo repunit: un repunit con ocho unos. Lo llamaremos R(8). Así, R es la sucesión de los repunits...

    Evidentemente, el 2 no puede ser divisor de un repunit. Tampoco el 5. Los criterios de divisibilidad del 2 y del 5 excluyen a los números que acaban en 1.

    Sin embargo, cualquier otro número primo (distinto de 2 y de 5) es divisor de algún repunit... 

    Esta afirmación de Pepe Chapuza habrá que demostrarla...

SOLUCIÓN

    Profe, mire. 

    Sea P un primo distinto de 2 y de 5. Y consideremos los repunits R(N) con 1 ≤ N ≤ P+1. 

    Al dividir estos repunits entre P obtenemos sus módulos (restos) M(N), 1 ≤ N ≤ P+1.

    Como mucho, puede haber P módulos distintos ya que el resto siempre es menor que el divisor (0 ≤ M(N) < P) por lo que algún módulo se repite, esto es, existen N' y N" (supongamos que N' < N") para los que M(N') = M(N").

    Así pues, como P es divisor tanto de R(N')−M(N') como de R(N")−M(N"), también será divisor de su diferencia R(N")−M(N')−R(N')+M(N') = R(N")−R(N').

    Profe, mire lo que pasa cuando restamos dos repunits:

   ¿Lo ve? R(N")−R(N') = R(N"−N')·10^N’= R(N"−N')·2^N’·5^N’. O sea, el primo P, que no es ni 2 ni 5, es divisor de R(N"−N')·2^N’·5^N’ y por tanto tiene que ser divisor del repunit R(N"−N').

    Después de la exposición de Nina Guindilla solo nos faltaba una fórmula para los repunits...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota nos mostró la fórmula R(N) = (10^N − 1) / 9.

    Mire, profe. En realidad es la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica:

1 + 10 + 100 + ... + 10^N−1 = (10·10^N−1− 1) / (10 − 1)

    Que en realidad no es más que un modo de formalizar que 11111111 = 99999999 / 9.

    Dije en clase que había muchas curiosidades acerca de los repunits. Por ejemplo

2 + 3² = 11

22 + 33² = 1111

222 + 333² = 111111

2222 + 3333² = 11111111

...

    Yoyó enseguida lo justificó...

    Profe, mire: 

2·R(N) + (3·R(N))² = 2·R(N) + 9·R(N)² = R(N)·(2+9·R(N)) =

    Si a un número formado por nueves le sumamos dos unidades conseguimos...

= R(N)·(1+10^N) = R(N) + R(N)·10^N = R(2N)

que es como encadenar dos repunits iguales...

    Pero también se puede proceder con la fórmula...

2·R(N) + (3·R(N))² =

= 2·(10^N − 1)/9 + (3·(10^N − 1)/9)² =

= (2·10^N − 2 + 10^2N − 2·10^N + 1) / 9 =

= (10^2N − 1) / 9 = R(2N)

    

    Se deja al lector que investigue sobre los repunits por su cuenta...