1615. La diagonal entera...

     Mire, profe. Los puntos  A ,  B ,  C  y  D  son los vértices consecutivos de un cuadrilátero. Si los lados miden...

dist (A, B) = 5 m

dist (B, C) = 9 m

dist (C, D) = 17 m

dist (D, A) = 5 m

¿cuánto mide la diagonal  AC , esto es,  dist (A, C) ?

    Le pregunté a Pepe Chapuza si no faltaba algún dato, y me respondió que la longitud de esta diagonal era un número entero de metros, esto es, un número natural... E hizo un dibujito chapucero, porque las distancias no se correspondían con los datos... Al menos así evitamos que alguien se pusiera a medir con la regla  ;-)

    ¡Pues venga!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla dedujo la longitud con la desigualdad triangular (o de Minkowski) puesto que la diagonal dividía al cuadrilátero en dos triángulos...

    Mire, profe. por un lado  dist (A, C) < dist (A, B) + dist (B, C) = 5 m + 9 m = 14 m .

    Por otro lado  dist (A, C) > dist (C, D) − dist (D, A) = 17 m− 5 m = 12 m .

    Por lo tanto  12 m < dist (A, C) < 14 m , esto es,  dist (A, C) = 13 m .

    ¿Cuánto mide la otra diagonal?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota utilizó el teorema del coseno y la función arcocoseno...

    Profe, mire. El ángulo  BÂC = arccos ( (5²+13²−9²) / (2·5·13) ) = 29,63º .

    El ángulo  CÂD = arccos ( (5²+13²−17²) / (2·5·13) ) = 136,95º . 

    El ángulo  BÂD = 29,63º + 136,95º = 166,58º .

    Y la diagonal  dist (B, D) = √ ( 5²+5²−2·5·5·cos166,58º ) = 9,9315 m .