1612. La esfera taladrada...

    Este es el problema que enunció Pepe Chapuza esta mañana:

    Mire, profe. Hemos perforado una esfera maciza con un taladro tal como se muestra en la figura.

    La altura del objeto así obtenido es  h = 2 dm . Obtén el volumen de dicho objeto...

    Los compañeros enseguida pidieron más datos: ¿qué ancho de broca se había utilizado para practicar el túnel?; ¿cuánto medía el radio de la esfera?... Pero  Pepe les advirtió que tanto esos datos como esas preguntas eran superfluas... ¿Es cierta la afirmación de Pepe? Calcula el volumen de la esfera taladrada...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se sabía de memoria las fórmulas de geometría...

    Profe, mire. La esfera taladrada es un segmento esférico menos un cilindro. Si el radio de las bases del segmento esférico (y del ciilindro) fuera r, entonces el volumen sería

π h (3r²+3r²+h²) / 6 − π h r² = π h³ / 6 = 4π/3 = 4,1888 dm³

    Efectivamente, con la altura nos bastaba...

    ¿Y cuánto mediría la superficie de una esfera taladrada?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota sumó el área de la zona esférica más el área lateral del cilindro...

    Profe, mire. Si R es el radio de la esfera tenemos

2πRh + 2πrh  =  2π(R+r)h  =  4π(R+r)√(R²−r²)

    En el último paso he utilizado el teorema de Pitágoras. ¿Se ve? 

    La superficie sí que depende tanto del radio de la esfera como del radio del cilindro... Y con estos radios, el dato superfluo es ahora precisamente la altura...