1611. Los planos bisectores

     Pepe Chapuza nos definió lo que eran los planos bisectores de dos planos secantes dados.

    Profe, mire. Los planos bisectores son el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos dados. Como los planos secantes dividen el espacio en cuatro ángulos diedros, los planos bisectores son dos. (Son cuatro semiplanos.) 

    Pedí comprobarlo con los planos de ecuaciones implícitas F(x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, con 

F(x, y, z) = 6x + 8z − 5          G(x, y, z) = 4x + 2y − 4z − 3

    ¡Manos a la obra!

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Si un punto P(x, y, z) pertenece a un plano bisector, entonces

dist (P, F⁻¹(0)) = dist (P, G⁻¹(0))

|F(P)| / |∇F(P)| = |G(P)| / |∇G(P)|

|6x + 8z − 5| / |(6, 0, 8)| = |4x + 2y − 4z − 3| / |(4, 2, −4)|

(6x + 8z − 5) / √(36+64) = ±(4x + 2y − 4z − 3) / √(16+4+16)

(6x + 8z − 5) / 10 = ±(4x + 2y − 4z − 3) / 6

18x + 24z − 15 = ±(20x + 10y − 20z − 15)

    Y reordenando y simpificando tenemos los planos bisectores:

− x − 5y + 2z = 0              19x + 5y + 22z − 15 = 0

    Los planos bisectores siempre son perpendiculares. Compruébalo con estos...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota calculó el producto escalar de los vectores normales de estos planos:

    Mire, profe:  (−1, −5, 2) · (19, 5, 22)  =  − 19 − 25 + 44  =  0 , por lo que los vectores normales son ortogonales y los planos son perpendiculares entre sí.

    Profe, mire. Si los planos iniciales fueran paralelos, el lugar geométrico sería un plano paralelo equidistante de los dados

    Queda para el lector inventarse un ejemplo para comprobarlo...