1610. Doblemente reglada...

    Mire, profe. Un hiperboloide de una hoja tiene forma de chimenea de central térmica. Su ecuación reducida es  x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 . Respecto del eje z los meridianos son ramas de hipérbola y los paralelos son elipses...

    Necesitábamos urgentemente que Pepe Chapuza nos hiciera un dibujo de un hiperboloide hiperbólico (o de una hoja) en una hoja (de papel) ...

    Profe, mire. Aunque se trata de una superficie curva, contiene rectas... ¡Más que eso! Es una superficie reglada: formada por rectas... ¡Mucho más que eso! Es doblemente reglada: por cada punto de la chimenea pasan dos de esas rectas...

    Esto había que justificarlo sí o sí.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo justificó de la siguiente manera:

    Mire, profe. Podemos cambiar la escala en los tres ejes de coordenadas

x : a = X        y : b = Y        z : c = Z

    La forma del hiperboloide cambia (los meridianos devienen en hipérbolas equiláteras y los paralelos devienen en circunferencias) pero las rectas siguen siendo rectas... La ecuación se simplifica: X² + Y² − Z² = 1.

    El punto A(1, 0, 0) está en el ecuador del nuevo hiperboloide... y en el plano X = 1. La intersección de este plano y el hiperboloide cumple Y² − Z² = 0, esto es, ±Y = Z. Por lo que el hiperboloide contiene las dos rectas (1, λ, ±λ) con λ ∈ (−∞, ∞) .

    Como este hiperboloide es de revolución, girando las rectas respecto del eje Z obtenemos las rectas, (cosθ−λsenθ, senθ+λcosθ, ±λ) con θ∈ [0, 2π), que están todas contenidas en el hiperboloide...

    En el hiperboloide inicial sería (acosθ−λasenθ, bsenθ+λbcosθ, ±λc)

    Volviendo al hiperboloide inicial..., ¿qué dos rectas pasan por un punto P(x, y, z)?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota pescó las dos rectas:

    Profe, mire. El punto P del primer hiperboloide deviene en el punto Q(x/a, y/b, z/c) del segundo hiperboloide, de donde λ = ±z/c. Calculemos la recta para λ = z/c (para λ = −z/c se haría igual)... Con los cálculos de Nina bastaría con determinar cosθ y senθ... Veamos...

cosθ − z/c senθ = x/a          senθ + z/c cosθ = y/b

cosθ = x/a + z/c senθ          senθ = y/b − z/c cosθ

así...

cosθ = x/a + z/c (y/b − z/c cosθ) = x/a + yz/b/c − z²/c² cosθ

cosθ + z²/c² cosθ = x/a + yz/b/c

cosθ (1 + z²/c²) = x/a + yz/b/c

cosθ = (x/a + yz/b/c) / (1 + z²/c²)

y

senθ = y/b − z/c (x/a + z/c senθ) = y/b − xz/a/c −  z²/c² senθ

senθ + z²/c² senθ = y/b − xz/a/c

senθ (1 + z²/c²) = y/b − xz/a/c

senθ = (y/b − xz/a/c) / (1 + z²/c²)

    Queda para el lector terminar los cálculos...