1591. Curvas alabeadas

     Mire, profe. Las líneas en ℝ³ pueden ser rectas o curvas (o no tienen o sí tienen curvatura). Las curvas, a su vez, puede ser planas o alabeadas (o no tienen o sí tienen torsión). Consideremos la curva  C: (x=3p², y=4p³, z=3p⁴), p∈ℝ. ¿Cuáles son los versores tangente, normal y binormal de C en el punto P(3, 4, 3)?

    Pepe Chapuza se ha asomado a ℝ³ y ha descubierto las curvas alabeadas. Echemos un vistazo...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha calculado los tres versores...

    Mire, profe. El punto P se obtiene para el valor del parámetro p = 1.

    Los vectores de posición de los puntos de C son de la forma

V = 3p² i + 4p³ j + 3p⁴ k

así, las velocidades en C son de la forma (derivando respecto de p):

V' = 6p i + 12p² j + 12p³ k

que para p=1 y dividiendo entre 6 para simplificar nos da un vector tangente

T = 1 i + 2 j + 2 k

    Normalizando obtenemos el versor tangente

t = T / |T| = 1/3 i + 2/3 j + 2/3 k

    Derivando V' tenemos las aceleraciones

V'' = 6 i + 24p j + 36p² k

que para p=1 y dividiendo entre 6 para simplificar...

W = 1 i + 4 j + 6 k

    Un vector normal y el versor normal serían, respectivamente...

N = T·T W − T·W T  = 9 ( 1 i + 4 j + 6 k ) − 21 ( 1 i +2 j + 2 k ) = − 12 i − 6 j +12 k

n = N / |N| = − 2/3 i − 1/3 j + 2/3 k    

    Un vector binormal y el versor binormal serían, respectivamente...

B = T × W = ( 1 i +2 j + 2 k ) × ( 1 i + 4 j + 6 k ) = 4 i − 4 j + 2 k

b = B / |B| = 2/3 i − 2/3 j + 1/3 k

    

    Se comprueba fácilmente que los tres versores forman una base ortonormal (triedro de Frenet-Serret)... 

    Por P pasan tres planos perpendiculares a sendos versores... ¿Cómo se denominan?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota encontró los nombres en una antigua chuleta...   

    Profe, mire. El perpendicular a t se llama plano normal. El perpendicular a n se llama plano rectificante. Y el perpendicular a b se llama plano osculador...