1592. Focos compartidos...

    Profe, mire. Una elipse y una hipérbola se dieron cuenta de que poseían los mismos focos  (±c, 0)  y excentricidades inversas  1/ε  y  ε  (ε >0) . Pero además tenían en común cuatro intersecciones... Calcula las coordenadas de esos puntos de intersección.

    En el dibujo de Pepe Chapuza se observaban los cuatro puntos de intersección. ¡Hállalos!

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Ambas secciones cónicas comparten la línea de ápsides (𝓡 : y=0) pero no los ápsides. Los ápsides de la elipse son (±cε, 0) y los de la hipérbola (±c/ε, 0). Así, las ecuaciones de la elipse y de la hipérbola son:

𝓔 : √( (x−c)²+y² ) + √( (x+c)²+y² ) = 2cε

𝓗 : √( (x−c)²+y² ) − √( (x+c)²+y² ) = ±2c/ε

    Multiplicando ambas

(x−c)² + y² − (x+c)² − y² = ± 4c²

x² − 2cx + c² − x² − 2cx − c² = ± 4c²

− 4cx = ± 4c²

x = ± c

y sustituyendo en 𝓔

|y| + √( 4c²+y² ) = 2cε

√( 4c²+y² ) = 2cε − |y|

4c² + y² = 4c²ε² + y² − 4cε|y|

|y| = (c² + c²ε²) / (cε)

y = ± c/ε ± cε

    (Sustituyendo en 𝓗 sale lo mismo.) Así, las cuatro intersecciones son:

(c, c/ε+cε), (−c, c/ε+cε), (c, −c/ε−cε) y (−c, −c/ε−cε)

    Nina Guindilla ya tenía las intersecciones pero... ¿qué ángulo forman la elipse y la hipérbola en esos puntos de intersección?

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Las ecuaciones reducidas de las cónicas son.

𝓔: x²/(c²ε²) + y²/(c²ε²−c²) = 1

𝓗: x²/(c²/ε²) − y²/(c²−c²/ε²) = 1

    Las derivadas parciales en 𝓔 y en 𝓗 nos dan las componentes de los vectores normales n y m.

n = ( 2x/(c²ε²) , 2y/(c²ε²−c²) )

m = ( 2x/(c²/ε²) , −2y/(c²−c²/ε²) )

    Por simetría basta con ver qué ocurre en  x=c  e  y=c/ε+cε .

n = ( 2/(cε²) , 2(1/ε+ε)/(cε²−c) )

m = ( 2/(c/ε²) , −2(1/ε+ε)/(c−c/ε²) )

    El producto escalar...

n·m = 4/c² − 4(1/ε²+2+ε²)/(c²ε²−2c²+c²/ε²) =

= 4/c² − 4(1/ε²+2+ε²)/c²/(1/ε²+2+ε²) =

= 4/c² −4/c² = 0

    Por lo tanto los vectores normales son ortogonales y las cónicas se cortan perpendicularmente: el ángulo es recto.

    Yoyó Gaviota podía haber dicho quizá 𝝅/2 radianes o 90º... Cuestión de gustos...