1590. Exponencialmente...

     Mire, profe. Estaba la función exponencial  f(x) = e^x  sola y aburrida... Entonces le dijeron las demás funciones: "Intégrate"... Y ella contestó: "Si es que a mi me da igual...". Jajaja...

    Acompañé las risas de la clase. Si la derivada de esta función exponencial era ella misma, entonces también era una de sus primitivas... Pepe Chapuza quiso comentar algo más...

    Siempre me ha maravillado que  Df(x) = e^x . Eso significa que en cualquier lugar de la gráfica de f, la pendiente coincide con la altura (y de ahí eso de "crecimiento exponencial")...

    Pepe se maravillaba de las maravillosas matemáticas...

    ¿Quién se acordaba de cómo se deducía que  Df(x) = e^x ?

SOLUCIÓN

     Nina Guindilla utilizó la serie de Taylor:

    Mire, profe:  e^x = ∑(n≥0)[ x^n / n! ]  por lo tanto

Df(x)  =  ∑(n≥0)[ n · x^(n−1) / n! ]  =

=  0 + ∑(n>0)[ n · x^(n−1) / n! ]  = 

=  ∑(n>0)[ x^(n−1) / (n−1)! ]  =

=  ∑(n≥0)[ x^n / n! ]  =  e^x

    A mí siempre me ha maravillado la suma de los inversos de los factoriales...

1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... = e = 2,71828...

porque  e = e^1 = ∑(n≥0)[ 1^n / n! ] = ∑(n≥0)[ 1 / n! ] .

    ¿Quién se acuerda de cómo se deducía con la definición de derivada?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota empezó con la derivada del logaritmo neperiano g(x) = ln(x)...

    Profe, mire. El número  e = lim(z→0)[ (1+z)^(1/z) ] , por tanto...

Dg(x)  =  lim(h→0)[ ( g(x+h)−g(x) ) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ( ln(x+h)−ln(x) ) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ln( (x+h)/x ) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ln(1+h/x) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ln( (1+h/x)^(x/h) ) / x ]  =

=  ln( lim(h/x→0)[ (1+h/x)^(x/h) ] ) / x  =

=  ln(e) / x  =  1/x

y por tanto, como f y g son funciones recíprocas...

Df(x) = 1/Dg(f(x)) = 1/(1(e^x)) = e^x = f(x)

    Pero profe, también se puede deducir sin recurrir a la derivada del ln...

Df(x) = lim(h→0)[ ( f(x+h)−f(x) ) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ( e^(x+h)−e^x ) / h ]  =

=  lim(h→0)[ ( e^x · e^h − e^x ) / h ]  =

=  e^x · lim(h→0)[ (e^h−1 ) / ln(e^h) ]  =

=  e^x · lim(h→0)[ 1 / ln( (e^h )^(1/(e^h−1)) ) ]  =

=  e^x / ln( lim(e^h−1→0)[ (1+(e^h−1))^(1/(e^h−1)) ]  =

=  e^x / ln(e)  =  e^x / 1  =  e^x  =  f(x)

    No cabe duda. Las Matemáticas son Maravillosas (con mayúsculas)...