1585. Un cono oblicuo

     Profe, mire. La ecuación C: x²+y² = z² corresponde a una superficie cónica doble con vértice en O(0, 0, 0). Si cortamos C con el plano ω: 3y + 4z = 35 obtenemos una elipse E (que por eso se dice que es una sección cónica).

    Se pide calcular el volumen encerrado por C y ω, que es un cono oblicuo...

     Pues nada... ¡A calcular el volumen pedido por Pepe Chapuza!

SOLUCIÓN

    A ver como lo ha calculado Nina Guindilla...

    Mire, profe. El volumen de un cono oblicuo es un tercio de la base por la altura. Aquí, la base es el área [E] de la elipse y la altura h es la distancia del vértice O al plano ω. 

    Como el plano ω es paralelo al eje X, entonces los ápsides A y A' de la elipse están en el plano  x=0  por lo que para hallarlos resolvemos el sistema:

x = 0

x² + y² = z²

3y + 4z = 35

     Por tanto

y = ± z

Si  y = z ;  3z + 4z = 35 ;  7z = 35 ;  z =  35/7 = 5 ;  y = 5 

Si  y = −z ;  −3z+4z = 35 ;  z = 35 ;  y = −35

 y...

A(0, 5, 5)

A'(0, −35, 35)

    El semieje mayor de la elipse mide  a = |AA'|/2 = √(40²+30²)/2 = 25.

    El centro de la elipse es el punto medio del segmento AA', esto es M(0, −15, 20), así, los extremos del eje menor B y B' están en los planos  y=−15  y  z=20  por lo que para hallarlos resolvemos el sistema: 

y = −15

z = 20

x²+y² = z²

        Por tanto

 x² = 20² −(−15)² = 175 ;  x = ± √175 = ± 5√7

 y...

B(5√7, −15, 20)

B'(−5√7, −15, 20)

    El semieje  menor de la elipse mide  b = |BB'|/2 = 5√7 .

    Así que el área de la elipse es  [E] = abπ = 25·5√7·π = 125π√7 .

    La distancia de O a ω es  h = 35/√(3²+4²) = 7 .

    Por lo tanto el volumen pedido es  V = 1/3 · 125π√7 · 7  (aproximadamente 2424,3 u³).

    Para rizar el rizo pedí calcular los focos y la excentricidad de la elipse E...

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Gaviota los rizos se le rizaban solos...

    Mire, profe. La semidistancia focal es  c = √(a²−b²) = √(25²−175) = √450 = 15√2 .

    Para hallar los focos F y F' resolvemos el sistema:

 x² + (y+15)² + (z−20)² = 450

x = 0

3y + 4z = 35

     Por tanto

y = (35−4z)/3

((35−4z)/3+15)² + (z−20)² = 450

(80−4z)² / 9 + (z−20)² = 450

6400 − 640z + 16z² + 9z² − 360z + 3600 = 4050

25z² − 1000z + 5950 = 0

z² − 40z + 238 = 0

z = 20∓9√2

y = (35−4·(20∓9√2))/3 = −15±12√2

 y...

F(0, −15+12√2, 20−9√2)

F'(0, −15−12√2, 20+9√2)

    La excentricidad es  e = c/a = 15√2 / 25 = 3√2 / 5  (aproximadamente 0,8485).