1584. Los multiplicadores de Lagrange

     Profe, mire. Un elipsoide, centrado en el origen de coordenadas, tiene semiejes a=3, b=9 y c=6 en los ejes de coordenadas X, Y y Z respectivamente. ¿Cuál es la distancia mínima del elipsoide al plano  π: 2x − 2y + z = 45 ?

    Este problema de Pepe Chapuza se puede resolver utilizando los multiplicadores de Lagrange... ¿Te acuerdas?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. La distancia del origen al plano es  45/√(2²+2²+1²) = 45/√9 = 45/3 = 15 > 9  que es el mayor de los semiejes del elipsoide por lo tanto el plano es exterior al elipsoide. La ecuación del elipsoide es  E: x²/3² + y²/9² + z²/6² = 1 . La distancia de cualquier punto Q(x, y, z) del elipsoide al plano es  D = (45 − 2x + 2y − z) / 3 . Consideremos el lagrangiano

w (x²/3² + y²/9² + z²/6² − 1) + (45 − 2x + 2y − z) / 3

    Anulando las derivadas parciales  ∂/∂x ,  ∂/∂y  y  ∂/∂z ...

2wx/3² − 2/3 = 0 ;  x = 3/w

2wy/9² + 2/3 = 0 ;  y = −27/w

2wz/6² − 1/3 = 0 ;  z = 6/w

y sustituyendo en E...

(3/w)²/3² + (−27/w)²/9² + (6/w)²/6² = 1

1/w² + 9/w² + 1/w² = 1

w² = 1 + 9 + 1 = 11

w = √11

x = 3/√11

y = −27/√11

z = 6/√11

por lo tanto la distancia mínima es

D = (45 − 6/√11 − 54/√11 − 6/√11) / 3 = 15 − 22/√11 = 15 − 2 √11

    Nina Guindilla se acordaba de los multiplicadores de Lagrange, ¡ya lo creo...! ¿Cuál sería el máximo de las distancias de los puntos del elipsoide E al plano π?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota lo tenía ya muy fácil...

    Profe, mire. Para  w = −√11  se obtendría la distancia máxima  D = 15 + 2 √11 .