Acabábamos de terminar el tema de programación lineal y Pepe Chapuza propuso el siguiente ejercicio:
La región factible es el triángulo de vértices A(1, 4), B(3, 7) y C(8, 2). La función objetivo alcanza el mismo valor en todos los puntos de la recta de Euler del triángulo. Halla las inecuaciones que determinan la región factible y el vértice donde la función objetivo no alcanza ni su máximo y ni su mínimo...
Aplaudí a Pepe... Me gustó el enunciado... ¡A por la solución!
SOLUCIÓN
Profe, mire. Los vectores AB = (2, 3) y AC = (7, −2) no son paralelos por lo que los puntos A, B y C no están alineados (lo que es obvio en el dibujo). (El vector BC = (5, −5) // (1, −1) tampoco es paralelo a lo otros, por supuesto...)
La recta AB: 3·(x−1)−2·(y−4) = 0 , por lo tanto tengo la inecuación 3x − 2y + 5 ≥ 0 .
La recta AC: 2·(x−1)+7·(y−4) = 0 , por lo tanto tengo la inecuación 2x + 7y − 30 ≥ 0 .
La recta BC: 1·(x−3)+1·(y−7) = 0, por lo tanto tengo la inecuación x + y − 10 ≤ 0 .
Como ninguna de las prolongaciones de los lados pasa por el origen O(0, 0) es muy fácil determinar el sentido de las desigualdades...
Gracias a Nina Guindilla, ya está la primera parte del ejercicio. ¡Vamos a por la segunda!
RESOLUCIÓN
Profe, mire. La recta de Euler pasa por el baricentro y el ortocentro del triángulo (y por el circuncentro).
El baricentro G es muy fácil de calcular G((1+3+8)/3, (4+7+2)/3) ≡ G(4, 13/3) .
El ortocentro H es un poco más dificil: hay que calcular la intersección de dos alturas... (La tercera altura también pasa por H y no hace falta obtenerla...)
La altura AH: 1·(x−1)−1·(y−4) = 0 ; y = x + 3 .
La altura BH: 7·(x−3)−2·(y−7) = 0 ; y = (7x−7)/2 .
Resolvemos el sistema:
x + 3 = (7x−7)/2
2x + 6 = 7x −7
5x = 13
x = 13/5
y = 13/5 + 3 = 28/5
Por lo tanto H(13/5, 28/5) y GH = (13/5−4, 28/5−13/3) = (−7/5, 19/15) // (−21, 19) .
La función objetivo es lineal: f(x,y) = (19x + 21y)·a + b .
Calculamos finalmente el valor de f en los tres vértices del triángulo:
f(1, 4) = (19·1 + 21·4)·a + b = 103·a + b
f(3, 7) = (19·3 + 21·7)·a + b = 204·a + b
f(8, 2) = (19·8 + 21·2)·a + b = 194·a + b
La solución es el vértice C.
Gracias a Yoyó Gaviota, el ejercicio está "finiquitado".
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