1586. Las agujas del conde

     Pepe Chapuza estaba explicando el problema de la aguja de Buffon (del conde de Buffon, Georges Louis Leclerc).

    Se cae una aguja de 2 pulgadas sobre una enorme mesa de listones de 4 pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja atraviese una línea de ensamblaje de los listones? 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla había estudiado ya este famoso problema y siguió la explicación.

    Mire, profe. 

    Sea D la distancia del centro de la aguja a la línea más próxima. Se tiene que 0 ≤ D ≤ 2 .

    Consideremos ahora el ángulo A que forma la aguja y la línea. Se tiene que  0 ≤ A ≤ π/2 .

    La situación relativa de la aguja respecto de la línea más próxima queda determinada por D y A. Así los puntos de coordenadas (D, A) representan todos los casos posibles en un rectángulo de base 2 y altura π/2 . El área de este rectángulo es π. La aguja atravesará la línea si  D ≤ senA . El área que representa los casos favorables es

ʃ ₀^π/2 senA dA = − cos(π/2) + cos(0) = 1 .

    La distribución de probabilidad es uniforme por tanto el cociente de las áreas es la probabilidad buscada: 1/π = 0,3183...

    ¿Y si la aguja midiera 4 pulgadas?

    Y si caen sobre la mesa 5 agujas de dos pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas atraviesen línea y tres no?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dedujo que ahora la aguja atravesaría la línea si  D ≤ 2senA  y el área de los casos favorables sería 2, por lo que la probabilidad sería  2/π = 0,6366... También resolvió la segunda cuestión...

    Profe, mire. Si la longitud L de la aguja no supera la separación S entre las líneas, entonces la probabilidad es directamente proporcional a L e inversamente proporcional a S. Si L > S entonces el asunto se complica porque la aguja podría atravesar más de una línea...

    Respecto a la segunda pregunta, si X es el número de agujas que atraviesan línea, tenemos una distribución de probabilidad binomial  X ~ B(5, 1/π) :

P(X=2) = 5!/2!/3! · (1/π)² · (1−1/π)³ = 10 · 0,3183² · 0,6817³ = 0,3210