1567. Un trapecio isósceles circunscrito

     Profe, mire. Tengo un trapecio circunscrito a un círculo. Si las bases del trapecio miden b = 13 cm y B = 23 cm, ¿cuánto mide el perímetro del trapecio?

    No parece demasiado difícil el problema propuesto por Pepe Chapuza, ¿verdad?

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Para calcular el perímetro necesito saber cuánto miden los costados del trapecio. Los segmentos tangentes al círculo desde los vértices miden  b/2 = 6,5 cm  y  B/2 = 11,5 cm , por lo que cada costado mide  b/2 + B/2 = 18 cm  y el perímetro es  p = 13+23+18+18 = 72 cm  ( = 2b + 2B )

    Nina Guindilla calculó el perímetro del trapecio... ¡Calcula ahora su área!

RESOLUCIÓN

 

   El área la calculó Yoyó Gaviota...

   Profe, mire. Se puede cortar el trapecio a lo largo de la altura que pasa por uno de los vértices superiores. Conseguimos así un trapecio rectángulo y un triángulo rectángulo. La hipotenusa de este está calculada ya,  B/2 + b/2 = 18 cm . Y el cateto horizontal mide  B/2 − b/2 = 5 cm . 

    La altura del trapecio es el cateto vertical del triángulo y se puede calcular con el teorema de Pitágoras.

h = √ ( (B/2+b/2)² − (B/2−b/2)² ) = √ ( B²/4 + b²/4 + Bb/2 − B²/4 − b²/4 + Bb/2 ) = √ (Bb)

    Mire, profe. ¡La altura es la media geométrica de las bases del trapecio! En nuestro ejemplo...

h = √(13·23) = √299 = 17,2916 cm

( o también  h = √(18²−5²) = √(324−25) =√299 = 17,2916 cm )

    Y el área del trapecio isósceles circunscrito medirá  A = hp / 4 = 311,249 cm²