1566. El cuarto trapezoide

     Pepe Chapuza había dibujado un cuadrado en su cuaderno. (Como era de papel cuadriculado no tuvo dificultades.) Y eligió al azar un punto del interior del cuadrado; después trazo cuatro segmentos que unían el punto elegido con los puntos medios de los lados del cuadrado dividiendo este en cuatro trapezoides...

    Mire, profe. Si las áreas de tres de los cuatro trapezoides son 37 ca, 48 ca y 26 ca, ¿cuánto mide el área del cuarto trapezoide?

    Recordando que una centiárea equivale a un metro cuadrado (1ca = 1m²) calcula el área que falta...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla unió con segmentos el punto del interior del cuadrado elegido por Pepe con los cuatro vértices del cuadrado. Ahora el cuadrado quedaba dividido en ocho triángulos. 

    Profe, mire. Podemos considerar que los ocho triángulos tienen iguales las bases: el semilado  s  del cuadrado. Además, los dos triángulos que comparten un mismo lado del cuadrado tienen la misma altura sobre dichas bases, por lo que ambos triángulos tienen la misma área. Llamemos a las diversas áreas de los triángulos A, B, C y D. 

    Ahora, con los datos de Pepe tenemos

A+B = 37 ca

B+C = 48 ca

C+D = 26 ca

    Nos piden  A+D = (A+B)+(C+D)−(B+C) = 37ca + 26ca − 48ca = 15ca

    ¿Cuánto miden las áreas A, B, C y D y el semilado  s ?

RESOLUCIÓN

    Lo que quedaba por hacer era muy fácil... para Yoyó Gaviota...

    Profe, mire. 

    El área del cuadrado es 37ca + 48ca + 26ca + 15ca = 126ca. 

    La suma de la altura de un triángulo A más la altura de un triángulo C nos da la altura del cuadrado, esto es,  2s . Por otro lado la suma de la altura de un triángulo B más la altura de un triángulo D nos da la anchura del cuadrado, o sea,  2s  también. Como todos los triángulos tienen la misma base  s , tenemos que A+C = B+D = 126ca / 4 = 31,5ca , por lo tanto...

2A = 37ca + 15ca − 31.5ca = 20,5ca

A = 20,5ca / 2 = 10,25ca

B = 37ca − 10,25ca = 26,75ca

C = 48ca − 26,75ca = 21.25ca

D = 26ca − 21,25ca = 4,75ca

s = √(31,5ca) = 5,6125m