Mire,
profe. Si escribo el polinomio x4
+ 6x3 + 11x2 + 6x + 1 como se
escribe en la regla de Ruffini se entiende por qué digo que es un polinomio
capicúa... (UNO SEIS ONCE SEIS UNO)
Es un
polinomio con término independiente por lo que si tuviera alguna raíz real a ,
no sería nula y además 1/a
sería otra raíz. Con el polinomio del ejemplo se entiende esto muy bien...
Si a4 + 6a3 +
11a2 + 6a + 1 = 0 entonces
(1/a)4 + 6(1/a)3 +
11(1/a)2 + 6(1/a) + 1 =
= 1/a4 + 6/a3 + 11/a2
+ 6/a + 1 =
y multiplicando por
a4
= 1 + 6a + 11a2 + 6a3
+ a4 = 0
El caso es que de
este polinomio no he podido encontrar sus raíces reales...
Con la regla de Ruffini estaba claro que no
había raíces enteras... pero os aseguro que sí hay raíces reales
¿Quién quiere buscarlas y factorizar
el polinomio?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla lo consiguió y su
procedimiento no tiene desperdicio...
Mire,
profe. Puedo sacar el factor común x
a
los términos dependientes...
(x3 + 6x2 + 11x + 6)x +
1
... y factorizar el polinomio que está entre
paréntesis con la regla de Ruffini..
(x+1)(x+2)(x+3)x + 1
Los
siguientes pasos no necesitan demasiadas explicaciones...
((x+1)·(x+2))·((x+3)·x) + 1
(x2+3x+2)·(x2+3x) + 1
((x2+3x+1)+1)·((x2+3x+1)−1)
+ 1
Y
ahora, la tercera identidad notable (suma por diferencia)...
(x2+3x+1)2 − 12
+ 1
(x2+3x+1)2
Con
la fórmula general de la ecuación cuadrática obtengo las raíces:
((x+1,5+√1,25)·( x+1,5−√1,25))2
(x+1,5+√1,25)2·( x+1,5−√1,25)2
Como dije, no tiene desperdicio. ¿Alguna
otra opción?
RESOLUCIÓN
El procedimiento de Yoyó Gaviota tampoco
tiene ningún desperdicio...
Mire,
profe. No sabía por donde empezar así que empecé a dar valores a la x ...
x x4 + 6x3 +
11x2 + 6x + 1
--------------------------------------------------
0
1 = 12
1 25 = 52
2
121 = 112
3
361 = 192
4 841 = 292
¿Se
da cuenta, profe? Para valores enteros de
x obtengo cuadrados perfectos. Intuí
que el polinomio era el cuadrado de un polinomio de segundo grado. Pero al
calcular las diferencias sucesivas de la sucesión de las raíces cuadradas de
estos cuadrados perfectos me convencí:
1
5 11 19
29
4
6 8 10
2
2 2
Como el coeficiente principal y el término independiente del polinomio
de cuarto grado son 1, los del polinomio de segundo grado también serán uno,
así que...
x4 + 6x3 + 11x2
+ 6x + 1 = (x2 + bx + 1)2 = x4
+ 2bx3 + (2+b2)x2 + 2bx + 1
de donde 2b = 6 y 2+b2
= 11 ,
de donde b = 3 .
A partir de aquí procedió como Nina...
Aunque también comprobó que efectivamente las raíces −1,5−√1,25 y −1,5+√1,25
eran inversas:
Profe,
mire. Si las multiplico...
(−1,5−√1,25)·(−1,5+√1,25) = 1,52 −(√1,25)2
= 2,25 − 1,25 = 1
Al día siguiente Yoyó abordó el problema con mucha "elegancia"...
Mire, profe. Como el polinomio tiene término independiente divido entre x2
(x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1) / x2
x2 + 6x + 11 + 6/x + 1/x2
(x+1/x)2 + 6(x+1/x) + 9
(x + 1/x + 3)2
Y multiplicando por x2
x2 · (x + 1/x + 3)2
(x · (x + 1/x + 3))2
(x2 + 3x + 1)2
Y ya sabemos cómo seguir...
