1560. Cevianas cuadrisectrices...

     Mire, profe. Desde el vértice A de un triángulo se trazan la altura, la bisectriz y la mediana, y resulta que estas tres cevianas dividen el ángulo  en cuatro partes iguales (lo cuadrisecan). Son cevianas cuadrisectrices...

    ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

    ¿Quién contesta a Pepe Chapuza?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla trajo la respuesta:

    Mire, profe. La segunda ceviana (bisectriz) divide el triángulo inicial en dos. La primera ceviana (altura inicial) es bisectriz, mediatriz, altura y mediana de uno de los triángulos nuevos, que es isósceles. La tercera ceviana (mediana inicial) es una bisectriz del otro triángulo nuevo. Si tomamos como unidad el lado  a = 1  tenemos las siguientes medidas...

    Aplicando el teorema de la bisectriz al triángulo inicial y al segundo triángulo nuevo tenemos:

b = c (1−2p)/(2p)

b = c (1/2)/(1/2−2p)

de donde

2p · 1/2 = (1−2p)·(1/2−2p)

p = 1/2 − 3p + 4p²

4p² − 4p + 1/2 = 0

p = 1/2 − √2/4

b = c (1 + √2)

    La primera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos. Dicha ceviana es cateto común. Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos...

h² = c² − p²

h² = b² − (1−p)²

de donde

c² − p² = b² − (1−p)² = b² − 1 − p² + 2p

b² = c² + 1 − 2p = c² + √2/2

    Combinando los resultados de ambos teoremas tenemos...

c² + √2/2 = c² (1 + √2) ² = c² (3 + 2√2)

c² = (√2/2) / (2 + 2√2) = 1/2 − √2/4

b² = 1/2 − √2/4 + √2/2 = 1/2 + √2/4

de donde  b² + c² = 1/2 − √2/4 + 1/2 + √2/4 = 1  por lo que...

 = 90° ,  B̂ = ¾ 90° = 67°30'  y  Ĉ = ¼ 90° = 22°30' .

    Perdonando que adolecía de pasos intermedios, Nina lo tenía resuelto. ¡Y sin usar trigonometría! ¿Cómo se podría afrontar el problema con trigonometría?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota hizo uso de las potentes herramientas de la trigonometría...

    Mire, profe.

    La primera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos, lo que me permite escribir  B̂ = 90° − ¼   y  Ĉ = 90° − ¾  .

    La tercera ceviana divide el triángulo inicial en dos triángulos en los que puedo aplicar el teorema de los senos:

1/2 / sen (Â/4) = m / sen (90° − 3Â/4)

1/2 / sen (3Â/4) = m / sen (90° − Â/4)

de donde

sen (Â/4) sen (90° − Â/4) = sen (3Â/4) sen (90° − 3Â/4)

sen (Â/4) cos (Â/4) = sen (3Â/4) cos (3Â/4)

sen (Â/2) = sen (3Â/2)

por tanto

Â/2 = 180° − 3Â/2

2Â = 180°

 = 90°

B̂ = 67°30' 

Ĉ = 22°30'