1559. Un polinomio capicúa

    Mire, profe. Si escribo el polinomio  x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1  como se escribe en la regla de Ruffini se entiende por qué digo que es un polinomio capicúa... (UNO SEIS ONCE SEIS UNO)

    Es un polinomio con término independiente por lo que si tuviera alguna raíz real  a , no sería nula y además  1/a  sería otra raíz. Con el polinomio del ejemplo se entiende esto muy bien... 

    Si  a⁴ + 6a³ + 11a² + 6a + 1 = 0  entonces

(1/a)⁴ + 6(1/a)³ + 11(1/a)² + 6(1/a) + 1 =

= 1/a⁴ + 6/a³ + 11/a² + 6/a + 1 =

y multiplicando por  a⁴

=  1 + 6a + 11a² + 6a³ + a⁴  =  0

    El caso es que de este polinomio no he podido encontrar sus raíces reales...

    Con la regla de Ruffini estaba claro que no había raíces enteras... pero os aseguro que sí hay raíces reales

    ¿Quién quiere buscarlas y factorizar el polinomio?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo consiguió y su procedimiento no tiene desperdicio...

    Mire, profe. Puedo sacar el factor común  x  a los términos dependientes...

(x³ + 6x² + 11x + 6)x + 1

... y factorizar el polinomio que está entre paréntesis con la regla de Ruffini..

(x+1)(x+2)(x+3)x + 1 

     Los siguientes pasos no necesitan demasiadas explicaciones...

((x+1)·(x+2))·((x+3)·x) + 1

(x²+3x+2)·(x²+3x) + 1

((x²+3x+1)+1)·((x²+3x+1)−1) + 1 

    Y ahora, la tercera identidad notable (suma por diferencia)... 

(x²+3x+1)² − 1² + 1

(x²+3x+1)² 

    Con la fórmula general de la ecuación cuadrática obtengo las raíces:

((x+1,5+√1,25)·( x+1,5−√1,25))²

(x+1,5+√1,25)²·( x+1,5−√1,25)²

    Como dije, no tiene desperdicio. ¿Alguna otra opción?

RESOLUCIÓN

    El procedimiento de Yoyó Gaviota tampoco tiene ningún desperdicio...

    Mire, profe. No sabía por donde empezar así que empecé a dar valores a la  x ...

                                                     x                x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1

                                                    --------------------------------------------------
                                                     0                                1 = 1²             
                                                     1                              25 = 5²             
                                                     2                            121 = 11²          
                                                     3                            361 = 19²          
                                                     4                            841 = 29²         

    ¿Se da cuenta, profe? Para valores enteros de  x  obtengo cuadrados perfectos. Intuí que el polinomio era el cuadrado de un polinomio de segundo grado. Pero al calcular las diferencias sucesivas de la sucesión de las raíces cuadradas de estos cuadrados perfectos me convencí:

1    5   11   19   29

4    6    8   10

2    2    2 

    Como el coeficiente principal y el término independiente del polinomio de cuarto grado son 1, los del polinomio de segundo grado también serán uno, así que... 

x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1  =  (x² + bx + 1)²  =  x⁴ + 2bx³ + (2+b²)x² + 2bx + 1

de donde  2b = 6  y  2+b² = 11 ,  de donde  b = 3 .

    A partir de aquí procedió como Nina... Aunque también comprobó que efectivamente las raíces  −1,5−√1,25  y  −1,5+√1,25  eran inversas:

    Profe, mire. Si las multiplico...

(−1,5−√1,25)·(−1,5+√1,25) = 1,5² −(√1,25)² = 2,25 − 1,25 = 1

    Al día siguiente Yoyó abordó el problema con mucha "elegancia"...

    Mire, profe. Como el polinomio tiene término independiente divido entre x²

(x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1) / x²

x² + 6x + 11 + 6/x + 1/x²

(x+1/x)² + 6(x+1/x) + 9

(x + 1/x + 3)²

    Y multiplicando por x²

x² · (x + 1/x + 3)²

(x · (x + 1/x + 3))²

(x² + 3x + 1)²

    Y ya sabemos cómo seguir...