1561. Bisectrices externas

    Comenté en clase el teorema de Steiner-Lehmus: si un triángulo tenía dos bisectrices iguales, entonces era isósceles... A continuación planteé este problemita: si esas dos bisectrices fueran también iguales a alguno de los lados del triángulo, ¿cuánto medirían entonces los ángulos del triángulo? Pepe Chapuza no tardó en contestar.

     Mire, profe. Cada bisectriz igual divide el triángulo isósceles en dos triángulos y uno de estos es semejante al inicial.

    Por lo tanto

α + α + α/2 = π radianes

5α/2 = π radianes

α = 2π/5 radianes

β = π/5 radianes 

    (El lector puede comprobar que otra solución es alfa=2π/7 y beta=3π/7.) 

    Pero profe. ¿Qué pasaría si en vez de bisectrices internas hablamos de bisectrices externas?

    La cuestión quedó abierta para la clase... 

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla rebuscó entre los triángulos isósceles...

    Profe, mire. Todo triángulo isósceles tiene dos bisectrices externas iguales. Hay dos posibilidades: que esas bisectrices externas sean iguales al lado desigual del triángulo isósceles, o que esas bisectrices externas sean iguales a los lados iguales del triángulo isósceles...

    En el primer caso tenemos

α + α + π/2 + α/2 = π

5α/2 = π/2

α = π/5

β = 3π/5

    En el segundo caso tenemos

α + α + β = π

 β + β + π/2 + α/2 = π

y resolviendo este sistema

α = 3π/7

β = π/7

    ¿Habrá alguna solución con algún triángulo escaleno?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Gaviota dio con el triángulo de Albrecht Emmerich...

    Mire, profe.

α + α + π/2 + β/2 = π

π/2 − α + π − β + π − β = π

y resolviendo el sistema

α = π/15 = 12°

β = 11π/15 = 132°

γ = π/5 = 36°