Pepe Chapuza estaba dándole vueltas al círculo graduado y a las neuronas... y acabó preguntando cuántos divisores naturales tenía el número 360. Alguien contestó que... el 1, el 2, el 3, el 4..., pero Pepe interrumpió...
Nina Guindilla contestó la primera...
Profe, mire. Un número natural compuesto se puede descomponer de forma única (salvo el orden de los factores) como producto de primos, esto es, como producto de potencias de primos distintos.
N = Aa Bb Cc Dd ···
Los divisores de N serán productos de "algunos" de estos primos (admitiendo los “productos” de un solo factor y el “producto” sin factores), por lo que A puede aparecer 0, 1, 2 ... o "a" veces, esto es, hay "a+1" posibilidades para A , y lo mismo podemos decir de los demás primos... Por tanto el número de divisores es...
(a+1) (b+1) (c+1) (d+1) ···
Para 360 tenemos la descomposición factorial 23 · 32 · 5 por lo que el número de divisores será (3+1) (2+1) (1+1) = 4 · 3 · 2 = 24 .
Solo había que comprobar que eran veinticuatro... ¡calculándolos todos!
RESOLUCIÓN
Yoyó Gaviota fue ordenado y sistemático...
|
20 · 30 · 50
= 1 |
21 · 30 · 50
= 2 |
22 · 30 · 50
= 4 |
23 · 30 · 50
= 8 |
|
20 · 31 · 50
= 3 |
21 · 31 · 50
= 6 |
22 · 31 · 50
= 12 |
23 · 31 · 50
= 24 |
|
20 · 32 · 50
= 9 |
21 · 32 · 50
= 18 |
22 · 32 · 50
= 36 |
23 · 32 · 50
= 72 |
|
20 · 30 · 51
= 5 |
21 · 30 · 51
= 10 |
22 · 30 · 51
= 20 |
23 · 30 · 51
= 40 |
|
20 · 31 · 51
= 15 |
21 · 31 · 51
= 30 |
22 · 31 · 51
= 60 |
23 · 31 · 51
= 120 |
|
20 · 32 · 51
= 45 |
21 · 32 · 51
= 90 |
22 · 32 · 51
= 180 |
23 · 32 · 51
= 360 |
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