1549. Atravesando cuadraditos. RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Tengo un rectángulo de base M y altura N, donde M y N son números naturales. El rectángulo se puede dividir por tanto en M x N cuadraditos unitarios (de lado 1). La pregunta es muy sencilla... ¿Cuántos cuadraditos atraviesa la diagonal del rectángulo? (Si la diagonal solo toca un vértice de un cuadradito, no consideramos que lo atraviesa.)

    Responde a Pepe Chapuzas en el caso general y en el caso particular para M=1260 y N=2625.

SOLUCIÓN

    Profe, mire. La diagonal tiene que atravesar N filas de cuadraditos y M columnas. Cuando la diagonal llega a un vértice de cuadradito acaba de atravesar una fila y una columna a la vez, y eso ocurre "mcd(M,N)" veces. Entonces el número de cuadraditos atravesados es:

M + N – mcd(M,N)

    En el caso particular de un rectángulo de base 1260 y altura 2625...

    El mcd(1260,2625) = 105, así que el número de cuadraditos atravesados es:

1260 + 2625 – 105 = 3780

    Nina Guindilla trasladó el problema a tres dimensiones...

    Mire, profe. Si el largo, ancho y alto de un ortoedro son los números naturales A, B y C respectivamente, y consideramos el ortoedro dividido en A·B·C cubitos unitarios..., ¿cuántos cubitos atraviesa la diagonal del ortoedro?

    Contesta a la pregunta de Nina para el caso general y para A=3300, B=1820 y C=1176.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso razonó de forma similar (chapuceramente)... pero con una dimensión añadida...

    Mire, profe. Si la diagonal solo toca a un cubito por una arista, entonces consideramos que no lo atraviesa... La diagonal tiene que atravesar A lonchas de cubitos a lo largo, B a lo ancho y C a lo alto. Cuando la diagonal llega a una arista de cubito acaba de atravesar dos lonchas a la vez (largo y ancho, largo y alto o ancho y alto)... pero si llega a un vértice de cubito, entonces atravesó tres lonchas a la vez (largo, ancho y alto). Contando y descontando, el número de cubitos atravesados será...

A + B + C – mcd(A,B) – mcd(A,C) – mcd(B,C) + mcd(A,B,C)

    En nuestro caso particular...

mcd(3300,1820) = 5·2·2 = 20

mcd(3300,1176) = 3·2·2 = 12

mcd(1820,1176) = 7·2·2 = 28

mcd(3300,1820,1176) = 2·2 = 4

    El número de cubitos atravesados será... 

3300 + 1820 + 1176 – 20 – 12 – 28 + 4 = 6240