1550. Potencias conmutables. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas daba por sabido que la potenciación era una operación que no poseía la propiedad conmutativa. Al fin y al cabo 2³ ≠ 3², ocho no es nueve...

    Profe, ¿para qué valores  x  e  y  se cumple que  x^y = y^x ? 

    Teníamos que suponer por razones obvias que...

x ≠ y

x > 0

y > 0

    Resuelve la ecuación planteada por Pepe...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla conocía una solución:  2⁴ = 4² = 16 . Pero tenía que haber más...

    Mire, profe. Si parametrizamos  y/x = t ... 

y = xt
x^xt = (xt)^x
x^t = xt
x^t–1 = t

y la solución es...

x = t^1/(t–1)
y = t^1/(t–1) t = t^1/(t–1)+1 = t^t/(t–1)

para  t ≠ 1 . (De todos modos, para  t = 1  se tiene que  x = y .)

    ¿Quién quiere "dibujar" la solución?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso escribió una tabla de valores y límites, situó los puntos y trazó la curva...

t	x	y
→ 1	→ e	→ e
2	2	4
3	√3	√27
3/2	9/4	27/8
1/2	4	2
→ ∞	→ 1	→ ∞
→ 0	→ ∞	→ 1

    Profe, mire. No entiendo por qué no admitimos las soluciones triviales..., por qué no permitimos que  x = y ... Yo dibujo todas las soluciones: las triviales en azul y las no triviales en rojo...