SOLUCIÓN
Nina Guindilla sacó el arco del violín y se puso a tocar...
Profe, mire.
Si llamamos u = ln x entonces du = dx / x .
Y si llamamos dv = xn dx entonces v = xn+1/ (n+1) .
Por lo tanto la integral nos queda
xn+1 ln x / (n+1) – ∫ xn/ (n+1) dx = xn+1 ln x / (n+1) – xn+1/ (n+1)2 + K
Profe, mire. Si fuera n = –1 la fórmula no tendría sentido porque no se puede dividir entre cero, pero en ese caso tendríamos ∫ ln x / x dx = (ln x)2 / 2 + K .
Para aplicar este resultado, Nina Guindilla ha propuesto este problemita...
Mire, profe. De una función creciente f sabemos que tiene en el punto (1,0) un punto crítico y que su tercera derivada es f '''(x) = lnx + 2 . ¿De qué función se trata?
RESOLUCIÓN
Mire, profe. Como la función f es creciente, en el punto crítico no hay ni máximo ni mínimo local, por lo que habrá un punto de inflexión y por tanto f (1) = f '(1) = f ''(1) = 0 .
Aplicamos la fórmula de Nina varias veces...
f '''(x) = x0 ln x + 2
f ''(x) = x ln x – x + 2x + A = x ln x + x + A
como f ''(1) = 1 + A = 0 entonces A = –1
f ''(x) = x ln x + x – 1
f '(x) = x2 lnx / 2 – x2 / 4 + x2 / 2 – x + B = x2 lnx / 2 + x2 / 4 – x + B
como f '(1) = 1/4 – 1 + B = – 3/4 + B = 0 entonces B = 3/4
f '(x) = x2 lnx / 2 + x2/4 – x + 3/4
f (x) = x3 lnx / 6 – x3/36+ x3/12 – x2/2 + 3x/4 + C = x3 lnx / 6 + x3/18 – x2/2 + 3x/4 + C
como f (1) = 1/18 – 1/2 + 3/4 + C = 11/36 + C = 0 entonces C = –11/36
f (x) = x3 lnx / 6 + x3/18 – x2/2 + 3x/4 – 11/36
Impecable, Yoyó Peluso...
Comprobó además que efectivamente se trataba de un punto de inflexión...
No terminó Yoyó sin dibujar (más o menos) la gráfica de la función...
Comprobó además que efectivamente se trataba de un punto de inflexión...
f ''''(x) = 1/x
f ''''(1) = 1 ≠ 0
No terminó Yoyó sin dibujar (más o menos) la gráfica de la función...
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