1544. Por medio de las medias... RESOLUCIÓN

 

    No. No se trataba de las medias naranjas. Pepe había propuesto un problema de clase sencillo... Había que calcular dos cantidades sabiendo que su media aritmética era 4,85 y su media geométrica era 3,60...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla prefería las medias lunas a las medias naranjas... Veamos como gestiona las medias de Pepe...

    Mire, profe.
    Si la media aritmética es  4,85  entonces la suma de las cantidades es  2·4,85 = 9,7 .
    Si la media geométrica es  3,60  entonces el producto de las cantidades es  3,6² = 12,96 .
    Por lo tanto las dos cantidades buscadas son las soluciones de la ecuación

x² – 9,7x + 12,96  =  0

de discriminante

9,7² – 4·12,96  =  42,25

por lo que las cantidades son

( 9,7 + √42,25 ) : 2  =  8,1

y

( 9,7 – √42,25 ) : 2  =  1,6

    Nina tenía que complicar un poco la cuestión...

    Mire, profe. Hay que calcular dos cantidades positivas sabiendo que su media cuadrática es  6   y su media armónica es  2,1 .

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso también quería utilizar las fórmulas de Cardano-Vieta para resolver este problema...

    Mire, profe. Sean  a  y  b  las cantidades buscadas y llamemos a su suma  S  y a su producto  P :

S = a+b

P = a·b

    Resulta que  a  y  b  son las soluciones de la ecuación  x² – Sx + P = 0  porque

(x–a)·(x–b)  =  x² – ax – bx + ab  =  x² – (a+b) x + ab

    Pues bien. Tenemos que la media cuadrática es

Q = √( (a²+b²)/2 ) = √( (a+b)²/2 – ab ) = √( S²/2 – P ) = 6

de donde

S² – 2P = 72

    Y tenemos que la media armónica es

H = 2 / (1/a + 1/b) = 2ab / (a+b) = 2P/S = 2,1

de donde 

2P = 2,1S

    Por tanto,

S² – 2,1S – 72 = 0
S = 1,05 + √( 1,05²+72 ) = 1,05 + 8,55 = 9,6
P = 1,05·S = 1,05·9,6 = 10,08

con lo que

x² – 9,6x + 10,08 = 0

    La raíz cuadrada del discriminante de esta ecuación es...

√( 4,8²–10,08 ) = √12,96 = 3,6 

y así

a = 4,8 + 3,6 = 8,4
b = 4,8 – 3,6 = 1,2

1543. Los imanes booleanos... RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas estaba jugando con dos imanes... Él decía que eran imanes booleanos y que se llamaban Unión e Intersección... Por supuesto, tenía que proponer un reto...

    Mire, profe. Tenemos cierto experimento aleatorio del que A y B son dos sucesos independientes. Se conocen las probabilidades de la unión y de la intersección:

P(A∪B) = 0,9032

P(A∩B) = 0,4368

    Calcula P(A) y P(B).

    Le pregunté a Pepe si acaso no faltaba algún dato... a lo que respondió...

P(A) < P(B)

    Resuelve el reto de Pepe... con o sin imanes...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla exhibió su "magnética" solución...

    Profe, mire. Como A y B son sucesos independientes

P(A)·P(B) = P(A∩B) = 0,4368

por tanto 

P(A)+P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) = 0,9032 + 0,4368 = 1,34

    Así pues, P(A) y P(B) son las soluciones de la ecuación de 2º grado

p² – 1,34 p + 0,4368 = 0

por tanto

P(A) = 1,34/2 – √(1,34²/4 – 0,4368) = 0,56

P(B) = 1,34/2 + √(1,34²/4 – 0,4368) = 0,78

    Nina no se quedó aquí... Resuelve el problema con que os reta ahora...

    Mire, profe. De tres sucesos independientes de un experimento aleatorio se conocen:

P(A∪B∪C) = 0,98

P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) = 0,81

P(A∩B∩C) = 0.36

    Calcula P(A), P(B) y P(C), sabiendo que  P(A) < P(B) < P(C)  y que son números racionales.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso razonó de la siguiente manera:

    Profe, mire... Los sucesos son independientes, así que:

P(A)·P(B)·P(C)  =  P(A∩B∩C)  =  0,36

P(A)·P(B) + P(A)·P(C) + P(B)·P(C)  =  P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C)  =

=  P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) + 2·P(A∩B∩C)  =  0,81 + 2·0,36 = 1,53

P(A)+P(B)+P(C)  =  P(A∪B∪C) + P((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)) + P(A∩B∩C)  =

=  0,98 + 0,81 + 0,36  =  2,15

    Por lo tanto, P(A), P(B) y P(C) son las soluciones de la ecuación de tercer grado:

p³ – 2,15 p² + 1,53 p – 0,36  =  0
100 p³ – 215 p² + 153 p – 36  =  0

    Los divisores de  100  son  1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100  y los divisores de  36  son  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 . Aplicando el teorema de la raíz racional... y con un poco de paciencia...

    Por lo que  P(A) = 3/5 = 0,6 ,  P(B) = 3/4 = 0,75  y  P(C) = 4/5 = 0,8 .

1542. Requeteinscrito. RESOLUCIÓN

    Mire, profe. En un cuadrado inscribimos un sector circular cuyo centro esté en el punto medio de un lado del cuadrado. En el sector circular inscribimos un círculo. Y en el círculo inscribimos un cuadrado tal como se muestra en el dibujo. Si el área del cuadrado pequeño es 1 m², ¿cuánto mide el área del cuadrado grande?

    ¡Un cuadrado requeteinscrito!
    Resuelve el reto que acaba de proponer Pepe Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no partió del cuadrado pequeño para llegar al grande sino al revés...

    Profe, mire. Si el lado del cuadrado grande mide  L , el radio del sector circular también medirá  L  y el triángulo naranja será un cartabón y el triángulo morado también. (Recuerdo que en un cartabón los ángulos miden 30º, 60º y 90º y que la longitud de la hipotenusa duplica la longitud del cateto menor.) Por otro lado el triángulo rosa es una escuadra (un triángulo rectángulo isósceles).

    Si  r  es el radio del círculo tenemos

L – r = 2 r

L = 3 r

r = L/3

    Y el lado del cuadrado pequeño... 

1 = √(r² + r²) = √2·r = √2/3·L

    Y el área del cuadrado grande...

L² = (3/√2)² = 9/2 = 4,5 m².

    Demasiado rápida, Nina, como de costumbre... 
    Nina propone expresar el radio del círculo inscrito en un sector circular en función del radio y del ángulo del sector. ¿Quién osa?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso razonó a partir de un dibujo

    Mire, profe. 

sen (α/2)  =  r / (R–r)

(R–r) · sen (α/2)  =  r 

R sen (α/2) – r sen (α/2)  =  r

R sen (α/2) = r + r sen (α/2)

R sen (α/2) = r · (1 + sen (α/2))

r = R · sen (α/2) / (1 + sen (α/2))